世論調査のサンプル数を増やすと、誤差はどれだけ小さくなる？

比較する条件をそろえる

同じ、とても大きな母集団から、別々に3つの標本を無作為に選ぶとします。質問はどれも「BよりAを選びますか」で、各回答者は「はい」か「いいえ」のどちらかを1回だけ答えます。無回答や「まだ決めていない」という選択肢は、この例にはありません。

標本の選び方は単純無作為抽出とし、回答に付ける重みは全員同じとします。母集団に占める標本の割合は十分小さく、有限母集団補正を省ける条件です。この大きな母集団の近似では、各回答を独立として扱います。集落抽出や重み付け、実効標本数による補正は使いません。実際の世論調査の設計を再現したものではなく、人数の効果を理解するためのモデルです。

回答者数は400人、1,600人、6,400人。「はい」は順に200人、800人、3,200人なので、どの例も「はい」の割合は0.50、つまり50%です。3行はそれぞれ別の仮想標本であり、1つの調査を途中で更新した記録ではありません。現実の意見が変わらないことを示すデータでもありません。

誤差幅を計算する：4.9%ではなく4.9ポイント

回答者数をn、「はい」の割合を小数で表した値をp̂とします。ここで使うのは正規近似によるWald（ワルド）区間の式で、片側の誤差幅は E = z√[p̂(1 − p̂)/n] です。Eは区間の中心から端までの幅であり、区間全体の幅ではありません。

丸めた値z = 1.96を使うと、近似的な両側95%信頼区間はp̂ − Eからp̂ + Eです。NISTはこの式を紹介するとともに、より良い性質を持つ別の方法や、この近似の限界も説明しています。ここでは人数と誤差幅の関係を示すために使い、あらゆる調査に推奨する計算法とはしません。[1]

400人の例では、p̂(1 − p̂) = 0.50 × 0.50 = 0.25です。標準誤差は√(0.25/400) = 0.025、誤差幅は1.96 × 0.025 = 0.049となります。割合で0.049は、百分率の目盛りでは4.9パーセンテージポイントです。50%から4.9ポイントを引いたり足したりすると、45.1%〜54.9%になります。

最初の例では、中心から片端までが4.9ポイント、区間全体の幅はその2倍の9.8ポイントです。これは50%に4.9%を掛けて求める相対的な変化率ではありません。

4倍なら半分、2倍なら√2で割る

回答割合p̂、信頼水準に対応するz、標本の選び方をそろえると、誤差幅は1/√nに比例します。400人から1,600人へ人数を4倍にすると、4.9ポイントは2.45ポイントに。1,600人から6,400人でも、人数は4倍、誤差幅は半分です。

人数を2倍にした場合は、誤差幅を√2で割ります。同じ50%の割合と1.96を使い、400人から800人に増やすなら、4.9/√2 ≈ 3.465ポイントです。2.45ポイントにはなりません。誤差幅を半分にするには、この計算では4倍の回答が必要です。

この比較では、回答割合も意図的に50%に固定しています。現実には標本が変わると回答割合も変わり得ます。その場合、人数の比だけでは誤差幅の変化全体を説明できません。信頼水準や調査設計が違う場合も、同じ単純な比較はできません。

人数を増やしても解消しない誤差がある

標本誤差は、母集団の一部を選んで調べることで生じるばらつきです。総務省統計局の日本語解説でも、標本誤差と非標本誤差を区別しています。調査対象から漏れる人や、回答しない人の偏りなどは、回答数だけを増やしても自動的には解消しません。[4]

Pew Research Centerの2016年の解説は、全体の人数だけでなく、調査設計、重み付け、部分集団の人数も精度に関わることを説明しています。調査全体の誤差幅を、人数の少ない年代別・地域別などの集計へそのまま当てはめることはできません。[2]

Pewの2025年のエラーバー解説も、図に示す誤差幅と、無回答による偏りや質問の受け取られ方などの問題を分けています。大人数の調査でも、測りたいこととずれた質問への答えを、小さな標本誤差で推定している場合があります。[3]

「95%」と近似式の限界を確認する

名目上の95%という信頼水準は、前提が成り立つ下で同じ手順を繰り返したときの、区間による母集団割合の捉え方に関するものです。計算後の区間について、固定された母集団の割合がその中にある事後確率を95%と割り当てる意味ではありません。候補者が勝つ確率が95%という意味でもありません。さらに、このWald近似が真の割合を含む頻度は、すべての人数・割合で厳密に95%となるわけではありません。

この式は、平方根の関係を見やすくするための教材です。NISTが推奨する万能な世論調査計算機ではありません。NISTはWilson区間なども取り上げ、Wald区間では標本数や該当する回答数が少ないと精度が不足したり、割合としてあり得ない上下限が出たりすることを説明しています。割合が0や1に近い場合には特に注意が必要です。50%の整った例だけで、こうした限界がなくなるわけではありません。[1]

また、ある1つの割合の誤差幅は、2つの推定値の「差」の不確かさと同じではありません。グラフのエラーバーが重なっているかどうかだけで、有意差の有無を一律に判断することもできません。比較に対応した分析方法を確認してください。[3]

実際の世論調査で確認したいこと

実際の調査では、質問文と選択肢、対象となる母集団、調査期間、回答者の選び方、重み付け、部分集団の人数、誤差の計算方法を確認します。公表された調査方法に従い、回答人数だけをこの記事の式に入れて済ませないことが大切です。

特に、自分から参加した人が答えるネット投票は、回答数が多いだけでは確率標本の条件を満たしたことになりません。募集方法と推定方法を確認せず、通常の標本誤差の幅を付けることは避けましょう。

よくある質問

サンプル数を2倍にすると、誤差は半分になりますか？

いいえ。同じ回答割合、信頼水準、単純な調査設計なら、人数を2倍にすると近似的な誤差幅は√2で割った大きさになります。半分になるのは人数を4倍にしたときです。例では400人から1,600人に増やすと、4.9ポイントが2.45ポイントになります。

誤差幅4.9ポイントは、4.9%の変化と同じですか？

同じではありません。例では50%に4.9ポイントを加減し、45.1%〜54.9%とします。50%に4.9%を掛ける相対的な変化率ではなく、百分率の目盛り上での幅です。

調査全体の誤差幅を、少人数の部分集団にも使えますか？

そのまま使えるとは限りません。部分集団では回答者数が異なり、重み付けや調査設計の影響も違う場合があります。その集団に対応した誤差の計算を確認してください。全体の人数だけでは、部分集団の精度は分かりません。

誤差幅が小さければ、偏りのない調査ですか？

そうとはいえません。標本誤差の幅は、すべての誤差を測るものではありません。対象者の漏れ、回答しやすさの違い、誘導的な質問などは、大きな標本でも推定に影響します。

この式は、どんなネット投票にも使えますか？

使えません。この例は、重みが等しく、母集団に対する標本の割合が十分小さい、特定の確率標本モデルを前提としています。参加者を募ったネット投票の回答数だけでは、その条件が成立したとはいえません。人数だけで通常の標本誤差を付けず、募集・推定の方法を確認してください。

関連する解説を読む

• パーセントとポイントの違い
• 世論調査の割合と当選確率の違い（英語）

出典

1. NIST：母比率の信頼区間と近似の限界
2. Pew Research Center：選挙世論調査の誤差幅（2016年9月8日）
3. Pew Research Center：グラフのエラーバー（2025年9月16日）
4. 総務省統計局：標本誤差と非標本誤差の解説