이 글의 내용
평균의 신뢰구간과 새로운 관측값 하나의 예측구간은 서로 다른 질문에 답합니다. 신뢰구간은 아직 모르는 평균을 추정하고, 예측구간은 개별 관측값이 그 평균에서 얼마나 벗어날 수 있는지도 고려합니다. 중심값이 같더라도 대상이 다르므로, 구간의 양 끝값만 비교하기 전에 무엇을 알고 싶은지부터 확인해야 합니다.
안정적인 측정 과정을 생각해 보세요. 그 과정의 평균 측정값을 알고 싶을 수도 있고, 다음 측정값이 어느 범위에 나올지 알고 싶을 수도 있습니다. 평균을 더 정확히 추정해도 측정값 하나하나의 변동이 사라지지는 않습니다. NIST도 평균 반응의 추정과 새로운 측정값의 예측을 구분합니다. NIST: 평균 반응의 추정.
평균을 추정할까요, 다음 관측값 하나를 예측할까요?
먼저 구간의 대상을 말로 적어 보세요. 모집단의 평균인가요, 특정 설명변수 값에서의 평균 반응인가요, 아니면 새로운 관측값 하나인가요? 신뢰구간은 평균 이외의 모수에도 사용할 수 있습니다. 이 글에서는 그중 평균의 신뢰구간을 미래 관측값 하나의 예측구간과 비교합니다.
회귀분석에서 평균 반응을 추정한다는 것은 특정 설명변수 값에서의 평균을 추정한다는 뜻입니다. 같은 설명변수 값에서 얻는 개별 관측값에는 자체적인 무작위 변동도 있습니다. 예측구간에는 이 추가 변동까지 반영해야 합니다. NIST: 단일 반응의 불확실성.
| 알고 싶은 것 | 구간의 대상 | 이 비교에서 사용할 구간 | 이 구간이 의미하지 않는 것 |
|---|---|---|---|
| 이 과정의 평균 측정값은 얼마일까요? | 아직 모르는 모집단 평균 | 그 평균의 신뢰구간 | 다음 개별 측정값을 포함하도록 만든 범위 |
| 다음 측정값은 어느 범위로 예상할까요? | 같은 과정에서 독립적으로 얻을 미래 관측값 하나 | 단일 관측값의 예측구간 | 다음 측정값이 반드시 들어온다는 보장 |
모집단 표준편차를 아는 경우의 계산 예시
임의의 단위로 값을 측정하는 가상의 과정을 설정하겠습니다. 관측값들은 동일한 정규분포에서 서로 독립적으로 추출됩니다. 모집단 평균 μ는 모르지만, 모집단 표준편차 σ는 10단위라는 것을 안다고 가정합니다. 관측값 25개를 모았더니 표본평균이 50단위였습니다.
다음 측정값도 앞서 얻은 25개와 독립적이며, 변화하지 않은 동일한 분포에서 나옵니다. 모두 계산을 설명하기 위해 정한 가정이지, 실제 측정 장비에서 확인한 사실이 아닙니다. 특히 10은 모집단 표준편차로 주어진 값입니다. 표본에서 추정한 표준편차를 확실히 아는 값처럼 사용한 것이 아닙니다.
양측 95% 구간을 구할 때 표준정규분포의 임계값을 약 1.96으로 둡니다. 이 모형에서 μ의 신뢰구간은 x̄ ± 1.96σ/√n, 새로운 관측값 하나의 예측구간은 x̄ ± 1.96σ√(1 + 1/n)입니다. 여기서 x̄는 표본평균, n은 표본의 관측값 수입니다. Calvin University의 강의자료는 σ를 알 때의 평균 신뢰구간과 예측구간에 추가되는 항을 설명합니다. Math 143: 신뢰구간과 1.11절.
| 계산 항목 | 평균의 신뢰구간 | 단일 관측값의 예측구간 |
|---|---|---|
| 중심값 | 50단위 | 50단위 |
| 구간 계산에 쓰는 표준편차 | 10/√25 = 2단위 | 10√(1 + 1/25) ≈ 10.1980단위 |
| 중심에서 한쪽 끝까지의 폭 | 1.96 × 2 = 3.92단위 | 1.96 × 10√1.04 ≈ 19.9882단위 |
| 하한 | 46.08단위 | 약 30.01단위 |
| 상한 | 53.92단위 | 약 69.99단위 |
평균 신뢰구간의 중심에서 한쪽 끝까지는 3.92단위, 예측구간은 약 19.99단위입니다. 둘 다 관측한 표본평균 50을 중심으로 하지만, 예측구간에는 평균 추정의 불확실성뿐 아니라 개별 측정값 자체의 변동도 들어갑니다.
이 모형에서 미래 측정값과 표본평균의 차이가 갖는 분산은 σ² + σ²/n = 100 + 4 = 104이며, 단위는 측정 단위의 제곱입니다. 서로 독립이므로 두 분산을 더할 수 있고, 그 합의 제곱근을 구하면 예측구간 계산에 필요한 표준편차가 됩니다. 표준편차를 그대로 10 + 2처럼 더하면 잘못된 계산입니다. NIST의 새로운 반응 예측 설명에도 같은 분산 결합 원리가 나옵니다.
95%는 절차를 반복했을 때의 포함률입니다
평균의 신뢰구간은 같은 모집단에서 25개씩 독립적인 표본을 반복해서 뽑고, 매번 구간을 만드는 상황으로 이해할 수 있습니다. 가정이 성립한다면 이 방법으로 만든 구간은 장기적으로 약 95%가 고정되어 있지만 아직 모르는 모평균을 포함합니다. 이미 계산한 특정 구간 안에 μ가 있을 사후확률이 95%라는 뜻은 아닙니다. NIST도 독립적인 실험의 반복으로 이 포함률을 설명합니다. NIST: 신뢰구간의 해석.
예측구간은 표본만 다시 뽑는 것이 아닙니다. 표본을 모아 구간을 계산한 뒤, 같은 모집단에서 독립적인 새 관측값 하나를 얻는 과정까지 함께 반복합니다. 그러면 장기적으로 약 95%의 반복에서, 매번 만든 구간이 그때의 새 관측값을 포함합니다. 다음 측정값이 반드시 들어온다는 보장도, 여기 표시한 구간 하나에 이후 100개 중 정확히 95개가 들어온다는 약속도 아닙니다. NIST: 예측구간의 해석.
가령 나중에 얻은 가상의 측정값이 60단위라고 해 보겠습니다. 60은 신뢰구간 46.08~53.92 밖에 있지만, 예측구간 약 30.01~69.99 안에는 있습니다. 그렇다고 평균의 신뢰구간이 실패했다고 볼 수는 없습니다. 그 구간의 대상은 새 측정값이 아니라 μ였기 때문입니다. 이 신뢰구간이 실제로 μ를 포함했는지 판단하려면 참 모평균을 알아야 합니다.
예측구간이 더 넓다는 말에는 비교 조건이 있습니다
위 계산에서는 모형, 데이터, 중심값, 신뢰수준, 단위를 같게 두었고 예측 대상에 개별 관측값의 변동이 추가되므로 예측구간이 더 넓습니다. 한 연구의 신뢰구간과 다른 연구의 예측구간, 혹은 신뢰수준이나 모집단이 다른 구간까지 이 규칙으로 비교하면 안 됩니다.
이 가상의 알려진 σ 모형에서 n을 늘리면 σ/√n은 0에 가까워지지만, σ√(1 + 1/n)은 σ에 가까워집니다. 관측값을 더 모으면 평균을 더 정확히 알 수 있어도 개별 관측값의 변동까지 없앨 수는 없습니다. 이는 σ와 모형을 고정했을 때의 결론입니다. 실제 분석에서 데이터가 추가될 때마다 예측구간이 반드시 좁아진다는 뜻은 아닙니다.
모집단의 일정 비율을 포함하는 범위를 구하는 것은 또 다른 문제입니다. NIST는 이를 위한 허용구간(tolerance interval)을 단일 관측값의 예측구간과 구분합니다. 위 예측구간이 모집단 전체의 95%를 포함한다거나, 그런 포함에 별도의 신뢰수준까지 보장된다고 해석해서는 안 됩니다. NIST: 예측구간과 허용구간.
실제 데이터에 쓰기 전에는 모형의 가정을 확인하세요
이번 예시는 모집단 표준편차를 안다고 가정해 계산을 단순하게 만들었습니다. σ를 추정해야 한다면 정규분포 임계값을 쓰는 위 공식을 그대로 적용할 수는 없습니다. 같은 독립 정규표본 모형에서 σ를 모를 때, 통상적인 평균 신뢰구간과 단일 관측값 예측구간에는 표본표준편차 s와 자유도 n − 1인 스튜던트 t분포의 임계값을 사용합니다. Calvin University: 1.9~1.11절.
실제 보고서를 읽거나 만들 때는 모집단, 표본 추출 방법, 기간, 단위, 구간의 대상, 신뢰수준을 먼저 확인하세요. 관측값들이 서로 의존하지 않는지, 측정 과정이 바뀌지는 않았는지, 분포에 관한 가정이 분석 목적에 맞는지도 살펴봐야 합니다. 독립적인 정규 관측값을 위한 공식이 군집 표본조사, 변화하는 시계열, 모든 회귀모형에 그대로 적용되는 것은 아닙니다.
여기서 구한 어느 구간도 선거에서 이길 확률이나 시장 계약의 지급 조건이 충족될 확률을 제시하지 않으며, 거래로 이익을 얻는다는 근거도 아닙니다. 사건의 확률을 구하려면 사건을 먼저 정의하고 알맞은 확률모형을 세워야 합니다. 서로 다른 수치를 대신 사용할 수 없는 이유는 여론조사와 당선 확률의 차이(영문), 기댓값과 확률의 차이에서도 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
95% 신뢰구간에는 관측값의 95%가 들어가나요?
평균의 신뢰구간이라면 그렇지 않습니다. 표본을 반복해서 뽑았을 때 포함하려는 대상은 아직 모르는 모평균입니다. 가상 예시의 46.08~53.92는 μ를 추정하는 구간이지, 개별 측정값의 95%를 담도록 만든 범위가 아닙니다.
예측구간은 항상 신뢰구간보다 넓나요?
위처럼 조건을 맞춘 계산에서는 더 넓습니다. 새로운 측정값 하나를 예측할 때는 평균 추정의 불확실성에 그 측정값 자체의 변동이 더해지기 때문입니다. 서로 무관한 데이터, 신뢰수준, 대상, 통계 방법 사이에도 적용되는 비교 규칙은 아닙니다. 먼저 같은 조건에서 비교하는지 확인하세요.
둘 다 중심이 50인데 왜 예측구간에 불확실성이 더 필요한가요?
관측한 표본평균 50은 그 과정의 평균을 추정한 값입니다. 실제 평균을 정확히 알더라도 새로운 개별 측정값은 그 평균과 다를 수 있습니다. 이 예시에서 예측에 쓰는 분산에는 개별 측정값의 변동 100과 평균 추정의 불확실성 4가 함께 들어갑니다. 둘의 단위는 모두 측정 단위의 제곱입니다.
표본에서 구한 표준편차에도 1.96을 곱하면 되나요?
표본표준편차를 이미 알고 있는 모집단 표준편차 σ처럼 취급하면 안 됩니다. 여기서 설명한 독립 정규표본 방법에서는 σ를 추정할 때 적절한 자유도의 스튜던트 t구간을 사용합니다. 다른 표본 설계나 모형에는 다른 방법이 필요할 수 있습니다. 1.96은 모든 구간에 쓸 수 있는 공통 배수가 아닙니다.
관측값이 예측구간 안에 들어오면 모형이 맞다는 뜻인가요?
아닙니다. 관측값 하나가 구간에 포함되었다고 해서 분포, 독립성, 과정의 안정성에 관한 가정이 검증되는 것은 아닙니다. 반대로 올바르게 설정한 95% 구간 절차에서도 관측값이 구간 밖에 나올 수 있습니다. 한 번의 결과를 증거로 단정하지 말고, 적절한 자료로 모형과 예측 성능을 평가해야 합니다.
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출처와 설명의 범위
평균 반응의 추정, 단일 반응의 예측, 반복 표본 추출에서의 포함률에 관한 NIST의 설명을 바탕으로 두 구간을 비교합니다. 모집단 표준편차를 아는 경우의 공식은 Calvin University Math 143 강의자료의 신뢰구간 도입부와 1.9~1.11절을 따릅니다. 관측값 25개, 표본평균 50, 알려진 표준편차 10은 독립 정규모형 아래에서 직접 정한 가상의 입력값이며 실제 성능 자료가 아닙니다. 기상 예측 상품, 선거모형, 시장의 사건 확률을 계산한 것이 아닙니다.
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