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平均を知りたいなら信頼区間、次の1件なら予測区間
平均の信頼区間は、未知の平均がどのあたりにあるかを推定するための区間です。1観測の予測区間は、同じ条件で次に得られる一つの値を予測するための区間です。中心が同じでも、区間が対象にしているものは異なります。
例えば、安定した測定工程の平均値を知ることと、次の測定値を予測することは別の問いです。平均を詳しく推定できても、測定値一つひとつのばらつきは残ります。NISTも、平均応答の推定と新しい1観測の予測を区別しています。[1] [2]
区間の幅を比べる前に、対象を言葉にする
最初に「何を区間で捉えたいのか」を書いてみましょう。母集団の平均なのか、ある説明変数の値での平均応答なのか、それとも新しい1観測なのか。信頼区間は平均以外の母数にも使いますが、この記事では平均の信頼区間と1観測の予測区間を比べます。
回帰分析でも、ある条件での平均応答と、その条件で得られる個別の観測値は別です。新しい観測値には、平均を推定する不確かさに加え、その観測自体のばらつきがあります。予測区間はその分も考慮します。[2]
| 知りたいこと | 対象 | ここで使う区間 | 意味しないこと |
|---|---|---|---|
| 工程の平均値はどのくらいか | 未知の母平均 | 母平均の信頼区間 | 次の個別の測定値を含むための区間ではない |
| 次の測定値はどのくらいか | 同じ工程から独立に得られる新しい1観測 | 1観測の予測区間 | 次の値が必ず入るという保証ではない |
比較するときは母集団、モデル、単位、区間の水準をそろえます。「信頼区間」「予測区間」という名称だけで、別々の分析の幅を比較しないでください。
計算例は、母標準偏差が分かっている正規分布です
架空の測定工程を考えます。観測値は、同じ正規分布から互いに独立に得られるとします。母平均μは未知ですが、母標準偏差σは10単位と分かっているものとします。25件の標本を取り、その標本平均が50単位だったとします。
- 標本数：n = 25
- 観測した標本平均：x̄ = 50
- 既知の母標準偏差：σ = 10
- 比較する区間：どちらも両側95％
- 次の1観測：過去の25件と独立で、変化していない同じ分布から得られる
これは計算のために置いた仮定であり、実際の測定器について調べた結果ではありません。特にσ = 10は母標準偏差として与えた値です。標本から求めた標準偏差を、説明なしに既知のσとして扱っているわけではありません。
この設定で、標準正規分布の両側95％の臨界値を約1.96とすると、式は次のようになります。Calvin Universityの教材は、既知のσを使う平均の信頼区間と、予測時に加わる分散を説明しています。[3]
母平均μの信頼区間：x̄ ± 1.96σ/√n
新しい1観測の予測区間：x̄ ± 1.96σ√(1 + 1/n)
同じ標本でも、46.08〜53.92と約30.01〜69.99になります
| 計算するもの | 母平均の信頼区間 | 1観測の予測区間 |
|---|---|---|
| 中心 | 50単位 | 50単位 |
| 区間計算に使う標準偏差 | 10/√25 = 2単位 | 10√(1 + 1/25) ≈ 10.1980単位 |
| 中心から片側への幅 | 1.96 × 2 = 3.92単位 | 1.96 × 10√1.04 ≈ 19.9882単位 |
| 下限 | 46.08単位 | 約30.01単位 |
| 上限 | 53.92単位 | 約69.99単位 |
予測区間の上下限は、計算後に小数第2位まで丸めています。1.96も正規分布の臨界値を丸めた値です。両方の中心は50ですが、信頼区間の片側の幅は3.92、予測区間は約19.99になります。
このモデルでは、新しい観測値と標本平均の差の分散が、σ² + σ²/n = 100 + 4 = 104となります。単位は元の測定単位の二乗です。独立性を仮定しているため、二つの分散を足し、その平方根を取って予測区間の計算に使います。
足すのは標準偏差ではありません。10 + 2と計算すると、異なる結果になってしまいます。新しい応答の分散と平均推定の分散を組み合わせる考え方は、NISTの解説でも示されています。[2]
95％は「何を繰り返すか」と一緒に読む
母平均の信頼区間では、同じ母集団から独立に25件ずつ標本を取り、そのたびに区間を作る手順を考えます。仮定が成り立つとき、その手順で作る区間は長期的に約95％の割合で、固定された未知のμを含みます。[1]
これは、すでに計算した46.08〜53.92にμが入る事後確率を95％と割り当てる解釈ではありません。また、個々の測定値の95％を含むという意味でもありません。
予測区間では、標本を取って区間を作ることに加え、同じ母集団から独立な次の1観測を得るところまでを繰り返します。この「標本と新しい1観測」の組を繰り返したとき、約95％で、それぞれの区間が対応する新しい値を含みます。[2]
次の値が必ず区間内に入るという保証ではありません。一度作った約30.01〜69.99を固定しておき、その後100件を測れば必ず95件が入る、という約束でもありません。
次の架空の測定値が60だったら？ 60は46.08〜53.92の外ですが、約30.01〜69.99の中です。平均の信頼区間の外にあることだけで、その信頼区間が失敗したとはいえません。対象は新しい測定値ではなくμだからです。この信頼区間がμを含んだかを確かめるには、真のμを知る必要があります。
予測区間が広い理由と、標本を増やしても残る幅
今回、予測区間が広いのは、モデル、データ、中心、水準、単位が同じで、予測の対象だけに個別の観測のばらつきが加わるからです。別の調査の信頼区間や、異なる水準の予測区間と比べて「予測区間は常に広い」と判断することはできません。
同じモデルとσを固定してnを増やすと、平均の標準誤差σ/√nは0へ近づきます。一方、予測区間で使うσ√(1 + 1/n)はσへ近づきます。標本が増えて平均の推定が精密になっても、個々の観測のばらつきまで消えるわけではありません。
この結論は、既知のσを固定した今回のモデルについてのものです。現実のデータが増えるたびに、どの予測区間も必ず狭くなるという一般則ではありません。
母集団の一定割合を含む範囲を求めたいなら、さらに別の対象になります。NISTは、1観測の予測区間と許容区間を区別しています。ここでの95％予測区間を、「母集団の95％を含むことが別の信頼水準で保証された区間」と読み替えないでください。[4]
実際のデータに使う前に、仮定を確認する
母標準偏差σを標本から推定する場合、今回の1.96を使う式をそのまま流用することはできません。対応する独立な正規標本の設定では、標本標準偏差と自由度n − 1のStudentのt分布の臨界値を使う区間になります。別の標本設計や回帰モデルでは、必要な方法や自由度も変わり得ます。[3]
報告書を読むときは、母集団、抽出方法、対象期間、単位、区間の対象、水準を確認しましょう。観測間に依存がないか、工程が変化していないか、分布の仮定が適切かも重要です。独立な正規観測の式を、集団ごとにまとめて抽出した調査や、変化する時系列、あらゆる回帰分析に当てはめることはできません。
これらの区間は、選んだモデルと仮定の下で計算したものです。区間を示しただけで、モデルの選び方が正しいことや、現実とのずれまで織り込まれていることは確認できません。1件が区間内に入ったことも、分布・独立性・安定性の検証の代わりにはなりません。
選挙の当選確率、市場の契約が支払われる確率、取引の収益性も、この二つの区間だけでは求められません。事象の確率が必要なら、何が起こる確率かを定め、適切な確率モデルを使います。関連する考え方は世論調査と選挙オッズ（英語）、期待値と確率で確認できます。
よくある質問
95％信頼区間には、データの95％が入りますか？
母平均の信頼区間であれば、その意味ではありません。対象は標本を繰り返し取ったときの未知の母平均です。今回の46.08〜53.92はμの推定区間であり、個別の測定値の95％を含めるために作った区間ではありません。
予測区間は必ず信頼区間より広いですか？
今回のように条件をそろえた比較では、新しい1観測のばらつきが加わるため広くなります。ただし、データ、母集団、水準、対象や手法の異なる区間同士へ、その比較を広げることはできません。
どちらも中心が50なのに、なぜ幅が違うのですか？
50は平均の推定値です。平均が完全に分かっていても、新しい観測値は平均からずれることがあります。今回の予測分散は、個別のばらつき100と平均推定の不確かさ4を合わせた104です。
標本標準偏差が分かれば、1.96を使ってよいですか？
標本から求めた値を、既知の母標準偏差σとは扱わないでください。今回に対応する独立な正規標本の方法では、適切な自由度のt分布を使います。1.96は、どの区間にも使える共通の係数ではありません。
信用区間と同じ意味ですか？
この記事の95％信頼区間は、標本抽出と区間作成を繰り返す手順の被覆率として説明しています。計算後の区間に固定されたμが入る事後確率を95％とする解釈には置き換えていません。信用区間との詳しい比較や、事前分布を用いた計算はこの記事の対象外です。
予測区間に入ったらモデルは正しいといえますか？
いいえ。1件が区間内にあっただけで、分布や独立性などの仮定は検証できません。正しく設定した95％の手順でも、区間外になることはあります。1件の成否だけでなく、目的に合った証拠でモデルを評価してください。
まず「平均か、次の1件か」を確認しましょう
平均の推定を読みたいのか、個別の結果を予測したいのかを決め、その対象に合う区間と仮定を確認します。区間の見た目の狭さだけで精度や実用性を判断せず、95％が何の手順を繰り返した割合なのかまで読み取ることが大切です。
出典と説明の範囲
- NIST e-Handbook §4.5.1.1: Estimating the average response
- NIST e-Handbook §4.5.1.2: Uncertainty of a single response
- Calvin University Math 143: Inference for Means, confidence intervals and §1.9–1.11
- NIST e-Handbook §4.1.3.2: Prediction and tolerance intervals
数値は独立な正規観測と既知の母標準偏差を仮定した架空の計算です。実測データ、シミュレーション結果、選挙予測、市場確率ではありません。区間の意味と式はNISTおよびCalvin Universityの教材に基づき、仮定を限定して説明しています。
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