期待値は次の結果の保証ではない：確率と準備時間を使って計算する

何の期待値を求めるか決める

期待値は、それぞれの結果の値に、その結果が起こる確率を掛け、すべて足して求めます。ただし、計算を始める前に「何の値か」をそろえる必要があります。作業そのものにかかる時間と、準備も含めて節約できる時間では、同じ数字を使っても答えが変わります。

ここでは、通常なら60分かかる作業を考えます。別の方法を使うと、毎回の準備に12分、その後の作業に20分、45分、75分のいずれかがかかるとします。3通りの確率は順に1/4、1/2、1/4です。時間も確率も説明のために決めた仮の値であり、実際の作業を測ったデータではありません。

知りたいのは、準備まで含めて通常の60分より何分短くなるかです。差し引きの節約時間は28分、3分、−27分となり、その期待値は1.75分です。−27分は27分余計にかかるという意味です。期待値がプラスでも、次の1回で時間を節約できるとは限りません。

3通りの結果と確率をそろえる

表の各行は、同時には起こらず、合わせると起こり得るすべての場合を含むようにします。確率はどれも0以上で、合計は1です。この例では、1回の作業で3通りのうち1つだけが起こります。1/4＋1/2＋1/4＝1なので、確率の合計もそろっています。

3つの場合は「独立」ではありません。たとえば20分で終わった同じ1回の作業が、同時に75分で終わることはないからです。また、実際にはほかの所要時間もあるなら、この表だけでは足りません。抜けた場合を加え、確率を考え直す必要があります。残った確率の合計を1に直すだけでは、抜けた結果は補えません。

準備の12分を一度だけ差し引く

結果の値を xᵢ、その確率を pᵢ とすると、期待値は Σ pᵢxᵢ です。記号の意味は「それぞれの値に確率を掛けて足す」ことです。この表では、28×1/4＋3×1/2＋(−27)×1/4＝7＋1.5−6.75＝1.75分となります。

準備を含めない節約時間の期待値は、60−46.25＝13.75分です。そこから準備の12分を一度引くと1.75分になります。一方、表の28分、3分、−27分には、すでに準備時間を織り込んでいます。その期待値からもう一度12分を引くと、準備を二重に数えてしまいます。

また、3つの節約時間を単純に足して3で割ると4/3分になりますが、この表の期待値にはなりません。真ん中の結果が起こる確率はほかの2つの倍だからです。場合の数だけで割るのではなく、各行に対応する確率を使います。

期待値の引き算に、作業時間と準備時間が独立という条件は要りません。この例の準備は毎回12分です。場合によって準備時間も違うモデルなら、それぞれの行で必要な時間を引き、差し引き後の値にその行の確率を掛けます。分と金額など、異なる単位をそのまま引くことはできません。

実際の結果・期待値・節約できる確率を分ける

この例で実際に出る節約時間は28分、3分、−27分のいずれかです。期待値の1.75分は、そのどれでもありません。一方、時間を節約できる確率は、プラスになる最初の2行を合わせた3/4、つまり75%です。「1.75分」と「75%」は別の問いへの答えです。前者は節約時間の期待値、後者は節約時間がプラスになる確率を表します。

何回か作業した後で求める実測の平均も、ここで計算した期待値とは分けて考えます。実測の平均は、その回数の中で実際に起きた結果から求める値です。今回の期待値は仮に置いた確率から求めた値なので、実測の平均が必ず1.75分になるという約束ではありません。

準備時間を変えると期待値はどう変わるか

次に、作業時間と確率はそのままで、毎回の準備にかかる時間だけを c 分に変えます。差し引きの節約時間の期待値は、13.75−c 分です。準備に時間をかけるほど、各行で節約できる時間も、その期待値も小さくなります。

13.75分は、置いた条件から計算で求まる境目です。実際の準備時間を推定した値でも、1回ごとに損得がなくなる保証でもありません。作業時間やその確率を変えれば、この境目も変わります。

確率を変えるときも合計1を保つ

準備を12分に戻し、中間の場合の確率は1/2に固定します。長くかかる場合の確率を q とし、短く済む場合の確率を1/2−qにします。これなら q を増やすと、短く済む場合から長くかかる場合へ同じだけ確率が移ります。0≦q≦1/2の範囲では、確率はすべて0以上で、合計も1のままです。

このとき節約時間の期待値は、28(1/2−q)＋3×1/2−27q＝15.5−55q 分です。期待値が0になるのは q＝31/110のときです。この分数は、決めた条件の下で計算した境目であり、実際に長くかかる確率を推定したものではありません。

表の確率は比較用の仮定であり、実測値でも「現実にはこの範囲になる」という推定でもありません。条件を変えて答えの変化を調べるのが感度分析です。何に答えが左右されるかは分かりますが、元の確率が正しいことまでは示せません。現実に使うには、結果の分け方や時間、確率を裏づける情報が必要です。

期待値がプラスでも毎回節約できるとは限らない

元の表で作業に75分かかる場合は、準備と合わせて87分です。基準の60分より27分長くなります。期待値がプラスでも、この場合の確率1/4が消えるわけではありません。平均を表す1つの値だけでは、起こり得る結果の幅を読み取れません。

回数を決めて繰り返しても、合計で必ず時間を節約できるとは限りません。たとえば各回が独立という条件を加えても、有限回のすべてで長くかかる場合が起こる確率は0にはなりません。期待値は、繰り返せば必ず不利な結果を取り戻せるという意味ではありません。

よくある質問

実際には出ない値が期待値になるのはなぜですか？

期待値は、各結果に確率を掛けて足した平均だからです。この例では、1回の節約時間は28分、3分、−27分のどれかですが、期待値は1.75分です。結果の一覧と期待値を並べると、平均だけでは分からない違いを確認できます。

節約できる確率75%と期待値1.75分はどう違いますか？

75%は、節約時間がプラスになる2つの場合の確率を足した値です。1.75分は、マイナスになる場合も含め、すべての節約時間に確率を掛けて足した値です。確率に時間の単位はありませんが、節約時間の期待値には「分」の単位があります。

準備時間はどの段階で差し引きますか？

各行の節約時間から先に引いても、準備を含めない節約時間の期待値から一度引いても、この例では同じ答えになります。各行ですでに12分を引いているなら、その期待値からもう一度12分を引かないようにします。

確率が正確に分からないときはどう考えますか？

仮の確率を使った答えだと明示し、確率を変えた場合も合計1を保って比べます。ただし、感度分析で分かるのは仮定を変えたときの答えの違いです。それによって仮の確率が実測の確率になったり、結果が保証されたりするわけではありません。

出典と説明の範囲

作業時間と確率は、この説明のために決めた架空の値です。以下の資料は数学上の定義や方法の根拠であり、この作業例が現実の成果を示すという根拠ではありません。

1. OpenStax『Statistics』4.2節：確率で重みを付けた平均としての期待値。
2. Penn State STAT414・Lesson 7：離散的な結果と確率の条件。
3. Penn State STAT414・Lesson 8：期待値の計算、変換、平均と実際の値の違い。
4. Northeastern Universityの講義資料『Random Variables』2.1節：有限個の結果の期待値、線形性、独立性が必要になる条件。
5. 英国財務省『The Green Book（2026）』：英国の公共事業等の評価における感度分析と境目の検討。方法の参照に限り、世界共通の金融・法律上のルールとしては扱いません。

出典確認日は2026年10月17日です。資料の公表日とは異なります。Green Bookのページに示された更新日は2026年2月5日です。