先算净结果，再谈期望值

先确定结果和单位，再计算期望值

期望值的计算方法是：把每种可能结果乘以对应概率，再把乘积相加。得到的是按概率加权的平均值，单位与结果相同。计算前要先说明，结果指总耗时、未扣准备的节省时间，还是扣除准备后的净节省时间；这三个量不能混用。

假设原方法完成一次任务要60分钟。另一方法每次都需准备12分钟，之后的任务时间可能为20、45或75分钟。我们给三种情况设定的概率分别是1/4、1/2、1/4。这些时间与概率都是例子中的假设，不是真实效率数据。扣除准备后的净节省时间分别为28、3、−27分钟；负数表示反而多花时间。

按这些条件计算，净节省时间的期望值是7/4，也就是1.75分钟。它不保证下一次会节省1.75分钟，更不能证明设定的概率准确。下面要看清这个数是怎样算出的，以及假设变化时它为什么会改变。

三个情况要完整、互不重叠

一次任务在模型中只会出现一种情况，三行合起来覆盖全部结果。概率必须非负，合计为1：1/4 + 1/2 + 1/4 = 1。这叫互斥且完备，不是说同一次任务的三个情况“彼此独立”；出现一个，另外两个就不会同时出现。

如果真实任务还有其他耗时，这个三行模型就不完整。需要补全情况并为概率提供依据，不能只把不完整的权重除以总和，就当作找回了遗漏结果。

准备只扣一次，再按概率加权

令X表示一次任务净节省的分钟数。公式为E[X] = Σ pᵢxᵢ，即每个结果xᵢ乘以概率pᵢ，再相加。本例为E[X] = 28 × 1/4 + 3 × 1/2 − 27 × 1/4 = 7 + 1.5 − 6.75 = 1.75分钟。

未扣准备时，期望节省为60 − 46.25 = 13.75分钟；再扣12，得到1.75分钟。如果已使用28、3、−27这些净结果，就不能再从它们的期望值扣12。把三项直接等权平均会得到4/3分钟，但那忽略了中间情况占1/2的权重，不是原分布的期望值。

同单位结果满足E[G − C] = E[G] − E[C]，这个相减规则不要求两者独立。本例准备固定为12分钟；若准备时间因情况而异，就要在各行扣除对应时间后再加权，不能混合单位或重复扣除。

期望分钟数与净节省为正的概率是两个量

本例期望净节省1.75分钟，但一次的可能结果只有28、3、−27分钟，没有哪行恰好是1.75。这不是说期望值在所有模型里都不可能实现；加权平均有时也会等于某个可能结果。这里净节省大于0的概率是1/4 + 1/2 = 3/4，因为前两种情况节省时间。3/4是概率，1.75的单位是分钟，不能相互替代。

已完成若干次任务后算出的实际平均值，还取决于那几次究竟发生了什么。模型的期望值来自设定的概率，不保证任意有限次观察的平均数都等于1.75分钟，也不是“完成任务的成功率”。

只改变每次准备时间，其他条件保持不变

用c表示每次固定准备的分钟数，保留原任务耗时和概率。净节省期望变为E[X] = 55/4 − c = 13.75 − c分钟。这次只改变准备时间，因此各行的净结果改变，任务耗时的概率分布不变。

13.75分钟是在这些假设下推导出的门槛，不是测得的准备时间，也不保证某一次恰好不亏时间。如果任务耗时或概率也改变，就不能继续使用这个门槛描述新模型。

改变概率时，仍要保持总和为1

把准备恢复为12分钟，固定中间情况的概率为1/2，设较长耗时的概率为q，较短耗时的概率为1/2 − q。这样增加q，是把概率从较短情况移到较长情况。只有在0 ≤ q ≤ 1/2时，这三项才都非负且合计为1。

E[X] = 28(1/2 − q) + 3(1/2) − 27q = 31/2 − 55q分钟。令其为0，得到q = 31/110。这个比例只是固定模型下期望净节省正负号改变的临界值，并不是对真实较长耗时发生率的估计。

这些是不同的假设，不是实测概率或经过验证的合理区间。敏感性分析能显示答案依赖哪些输入，却不能证明输入准确。真实应用还需要情况、时间和概率的依据，并考虑模型可能漏掉的结果。

期望值为正，也可能花更多时间

在原模型中，较长耗时的情况加上准备共需87分钟，比60分钟基准多27分钟。虽然净节省期望为正，这一情况的概率仍是1/4。单一平均值没有描述所有可能损失。

固定次数后也不保证净节省。即使额外假设每次任务相互独立，任意有限次全部遇到较长情况，仍有正概率。这只是说明保证不存在，不是鼓励反复尝试来追回已经耗费的时间。

常见问题

期望值可以不在可能结果之中吗？

可以。加权平均不一定等于某个可能结果，但也不是永远不相等。本例的期望净节省是1.75分钟，一次实际只会净节省28、3或−27分钟。把结果列表与期望值放在一起，才能看见平均数没有单独展示的差异。

净节省时间为正的概率75%，与期望1.75分钟相同吗？

不同。75%只把两个净节省大于0的情况概率相加；期望值还要把所有结果的时间数值按概率加权，包括−27分钟。概率没有分钟单位，期望净节省则用分钟表示。

概率只是设定时，计算有什么限制？

答案以这些假设为条件。要明确标出假设、保持有效的概率分布，并说明输入改变会怎样影响结果。计算不会把假设概率变成实测频率，也不保证现实任务的结果；准备时间同样不能被重复扣除。

延伸阅读

若想区分事件合同价格、实际成本和交易流程，可分别阅读以下现有说明。这些链接不是参与建议或资格确认。

资料来源与范围

例子中的任务、时间和概率都是架空设定。资料支持数学定义与方法，不验证真实效率，也不提供工资换算、产品建议或个人参与资格判断。资料于2026年10月17日核对，核对日不等于发布日期；Green Book页面显示更新于2026年2月5日。

1. OpenStax：Statistics第4.2节 — 把期望值解释为概率加权平均。
2. Penn State STAT414：第7课 — 离散结果与有效的概率分布。
3. Penn State STAT414：第8课 — 期望值、变换，以及平均与实际结果的区别。
4. Northeastern University：Random Variables第2.1节 — 有限期望、线性规则与独立性的适用条件。
5. 英国财政部：The Green Book（2026） — 仅参考英国公共项目评估中的敏感性和临界值方法，不是全球个人金融或法律规则。