متوقع قدر کیسے نکالیں؟ احتمال کے ساتھ خالص بچت کی مثال

پہلے نتیجہ اور اس کی اکائی طے کریں

متوقع قدر، جسے Expected Value بھی کہتے ہیں، نکالنے کے لیے ہر ممکنہ نتیجے کو اس کے احتمال سے ضرب دیں، پھر سب حاصلِ ضرب جمع کریں۔ یہ احتمال کے مطابق وزنی اوسط ہے: جس نتیجے کا امکان زیادہ ہو، اسے حساب میں زیادہ وزن ملتا ہے۔ پہلے طے کریں کہ آپ کام کا کل وقت، بچنے والا وقت، یا تیاری کے بعد خالص بچت نکال رہے ہیں۔ ان تینوں کا جواب ایک نہیں ہوگا۔

فرض کریں ایک کام عام طریقے سے 60 منٹ لیتا ہے۔ دوسرے طریقے میں ہر کوشش پر 12 منٹ تیاری ہوتی ہے، پھر کام میں 20، 45 یا 75 منٹ لگتے ہیں۔ ان صورتوں کے احتمال بالترتیب 1/4، 1/2 اور 1/4 فرض کیے گئے ہیں۔ یہ فرضی اوقات اور مفروضے ہیں، کسی حقیقی کام کے مشاہدات نہیں۔ تیاری سمیت خالص بچت 28، 3 یا −27 منٹ ہوگی۔ منفی بچت کا مطلب ہے کہ بنیادی طریقے سے زیادہ وقت لگا۔

اس مثال میں متوقع خالص بچت 7/4 = 1.75 منٹ نکلتی ہے۔ یہ اگلی کوشش کا وعدہ نہیں، اور نہ یہ حساب ثابت کرتا ہے کہ فرض کیے گئے احتمال درست ہیں۔

احتمال کی جدول درست ہے یا نہیں؟

ایک کوشش کی صورتیں ایسی ہوں کہ ایک کے پیش آنے پر دوسری پیش نہ آئے، اور وہ مل کر ماڈل کے تمام ممکنہ نتائج کا احاطہ کریں۔ ہر احتمال صفر یا اس سے زیادہ ہو اور سب کا مجموعہ 1 بنے۔ یہاں ایک کوشش میں کام کے تین اوقات میں سے صرف ایک آتا ہے، اور 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1۔ ان صورتوں کو ایک دوسرے سے آزاد کہنا درست نہیں: اسی کوشش میں ایک صورت پیش آئے تو باقی دو پیش نہیں آتیں۔

اگر حقیقی کام میں دوسرے اوقات بھی ممکن ہوں تو یہ تین قطاریں اس کی مکمل تصویر نہیں ہوں گی۔ صورتیں دوبارہ بنانا اور ان کے احتمال کے لیے شواہد لانا ہوں گے۔ نامکمل احتمال کو ان کے مجموعے سے تقسیم کرکے 1 بنا دینے سے چھوٹا ہوا نتیجہ واپس شامل نہیں ہو جاتا۔

تیاری کا وقت ایک بار نکالیں، پھر وزنی اوسط لیں

ایک کوشش میں بچنے والے خالص منٹ کو X کہیں۔ ہر نتیجے xᵢ کو اس کے احتمال pᵢ سے ضرب دے کر جمع کریں: E[X] = Σ pᵢxᵢ۔ یہاں E[X] = (1/4 × 28) + (1/2 × 3) + (1/4 × −27) = 7 + 1.5 − 6.75 = 7/4 منٹ ہے۔

تیاری کا وقت نکالنے سے پہلے متوقع بچت 60 − 46.25 = 55/4 = 13.75 منٹ ہے۔ اس میں سے 12 منٹ نکالنے پر وہی 1.75 منٹ ملتے ہیں۔ اگر آپ نے پہلے ہی 28، 3 اور −27 کو خالص نتائج بنایا ہے تو ان کی اوسط سے تیاری دوبارہ نہ نکالیں۔ ان تین نتائج کی سادہ، برابر وزن والی اوسط (28 + 3 − 27) / 3 = 4/3 منٹ ہوگی؛ یہ درمیانی صورت کے زیادہ احتمال کو نظرانداز کرتی ہے۔

متوقع قدر میں سے لاگت نکالنے کے اس اصول کے لیے کام کے وقت اور لاگت کا ایک دوسرے سے آزاد ہونا ضروری نہیں۔ یہاں تیاری ہمیشہ 12 منٹ ہے۔ اگر تیاری کا وقت صورت کے ساتھ بدلتا ہو تو ہر قطار میں اسی صورت کی تیاری شامل کریں، پھر خالص نتیجے کی وزنی اوسط لیں۔ پورے حساب میں اکائی ایک ہی رکھیں۔

اوسط، ممکنہ نتیجہ اور مثبت بچت کا احتمال الگ ہیں

متوقع خالص بچت 1.75 منٹ ہے، مگر یہاں کسی ایک صورت کا نتیجہ یہ نہیں۔ ایک کوشش میں 28 یا 3 منٹ بچتے ہیں، یا بنیادی وقت سے 27 منٹ زیادہ لگتے ہیں۔ مثبت بچت کا احتمال 3/4 ہے، کیونکہ پہلی دو صورتوں میں وقت بچتا ہے۔ یہ کام مکمل ہونے کا احتمال نہیں۔ احتمال کی کوئی وقتی اکائی نہیں ہوتی، جبکہ متوقع بچت منٹ میں ہے۔

اصل میں مکمل کی گئی کوششوں کی اوسط الگ چیز ہے: وہ ان کوششوں میں پیش آنے والے نتائج سے نکلتی ہے۔ یہاں کی وزنی اوسط مقرر کیے گئے ماڈل سے نکلی ہے؛ یہ کسی خاص محدود تعداد کی کوششوں میں عین 1.75 منٹ کی اوسط کا وعدہ نہیں کرتی۔ دوسرے ماڈل میں متوقع قدر کسی ممکنہ نتیجے کے برابر بھی ہو سکتی ہے۔ یہاں برابر نہ ہونے کا مطلب یہ نہیں کہ ہر متوقع قدر ناممکن نتیجہ ہوتی ہے۔

باقی مفروضے وہی رکھ کر تیاری کا وقت بدلیں

ہر کوشش کی تیاری کو c منٹ کہیں۔ کام کے وہی تین اوقات اور اصل احتمال رکھیں تو متوقع خالص بچت 55/4 − c = 13.75 − c منٹ ہوگی۔ اس حساب میں صرف تیاری بدل رہی ہے: کام کے اوقات اور ان کے احتمال وہی ہیں۔

13.75 منٹ کی حد ان مفروضوں کے تحت الجبرا سے نکلی ہے۔ یہ تیاری کے وقت کا مشاہدہ شدہ تخمینہ نہیں، نہ کسی ایک کوشش میں وقت برابر رہنے کی ضمانت ہے۔ کام کے اوقات یا احتمال بھی بدلیں تو یہی حد نئے ماڈل پر لاگو نہیں ہوگی۔

احتمال بدلیں تو ان کا مجموعہ بھی درست رکھیں

تیاری دوبارہ 12 منٹ رکھیں۔ درمیانی صورت کا احتمال 1/2 رہنے دیں، زیادہ وقت والی صورت کا احتمال q اور کم وقت والی صورت کا 1/2 − q رکھیں۔ اب q بڑھانے سے احتمال کم وقت والی صورت سے زیادہ وقت والی صورت کو منتقل ہوتا ہے۔ 0 ≤ q ≤ 1/2 ہو تو تینوں احتمال غیر منفی ہیں اور ان کا مجموعہ 1 رہتا ہے۔

اس صورت میں متوقع خالص بچت 28(1/2 − q) + 3(1/2) − 27q = 31/2 − 55q = 15.5 − 55q منٹ ہے۔ q = 31/110 پر یہ صفر ہو جاتی ہے۔ یہ ماڈل میں متوقع خالص بچت کے مثبت سے منفی ہونے کی حد ہے، اس بات کا تخمینہ نہیں کہ حقیقی کام میں زیادہ وقت والی صورت کتنی بار آئے گی۔

یہ متبادل مفروضے ہیں، مشاہدہ شدہ احتمال یا کسی تصدیق شدہ قابلِ اعتبار حد کے اعداد نہیں۔ حساسیت کا حساب بتاتا ہے کہ جواب مفروضہ بدلنے سے کیسے بدلتا ہے؛ وہ خود مفروضے کو درست ثابت نہیں کرتا۔ حقیقی استعمال میں صورتوں، اوقات اور احتمال کے لیے شواہد چاہییں، اور ابتدا میں چھوٹ جانے والے نتائج بھی دیکھنے ہوں گے۔

مثبت متوقع بچت کے باوجود زیادہ وقت لگ سکتا ہے

اصل ماڈل میں 75 منٹ کام والی صورت، تیاری سمیت 87 منٹ لیتی ہے: بنیادی وقت سے 27 منٹ زیادہ۔ مثبت متوقع بچت کے باوجود اس صورت کا احتمال 1/4 رہتا ہے۔ ایک اوسط تمام ممکنہ نتائج کا متبادل نہیں۔

کسی مقررہ محدود تعداد کی کوششوں کے بعد بھی بچت کی ضمانت نہیں۔ مثال کے طور پر، اگر الگ سے یہ فرض کیا جائے کہ کوششیں ایک دوسرے سے آزاد ہیں تو مسلسل n کوششوں میں صرف زیادہ وقت والی صورت آنے کا احتمال (1/4)ⁿ > 0 ہے، اور کل خالص بچت −27n منٹ ہوگی۔ یہ محدود n کے لیے ضمانت نہ ہونے کی مثال ہے، اضافی وقت کی تلافی کے لیے بار بار کوشش کرتے رہنے کی ترغیب نہیں۔

عام سوالات

کیا متوقع قدر ایسا نتیجہ ہو سکتی ہے جو ایک کوشش میں نہ آئے؟

ہاں۔ وزنی اوسط کا کسی ممکنہ نتیجے کے برابر ہونا ضروری نہیں۔ یہاں متوقع خالص بچت 1.75 منٹ ہے، مگر ایک کوشش کا نتیجہ 28، 3 یا −27 منٹ ہے۔ اوسط کے ساتھ ممکنہ نتائج کی فہرست بھی دیکھیں۔

کیا 75% احتمال اور 1.75 منٹ کی متوقع بچت ایک ہی بات ہیں؟

نہیں۔ 75% = 3/4 وقت بچنے والی دو صورتوں کے احتمال کا مجموعہ ہے، کام مکمل ہونے کی شرح نہیں۔ متوقع بچت میں تینوں نتائج کی مقدار شامل ہے، منفی نتیجہ بھی۔ احتمال کی کوئی اکائی نہیں ہوتی، جبکہ یہ بچت منٹ میں ناپی گئی ہے۔

تیاری کا وقت اوسط سے پہلے نکالیں یا بعد میں؟

دونوں راستے درست ہیں، بشرطیکہ ایک ہی حساب کو یکساں انداز سے پورا کریں۔ ہر صورت سے مقررہ 12 منٹ نکال کر وزنی اوسط لیں، یا تیاری سے پہلے کی متوقع بچت سے یہ وقت ایک بار نکالیں۔ اگر ہر صورت میں تیاری کا وقت نکال کر خالص نتیجہ بنا لیا ہے تو ان خالص نتائج کی اوسط سے اسے دوبارہ نہ نکالیں۔

اگر احتمال صرف مفروضے ہوں تو جواب کس کام کا ہے؟

جواب انہی مفروضوں کے ساتھ مشروط ہے۔ انہیں واضح لکھیں، احتمال کا مجموعہ درست رکھیں، اور دکھائیں کہ مفروضہ بدلنے سے نتیجہ کیسے بدلتا ہے۔ حساب فرض کیے گئے احتمال کو مشاہدہ شدہ امکان نہیں بنا دیتا اور حقیقی نتیجے کی ضمانت نہیں دیتا۔

حوالے اور ان کی حدود

اس مضمون کے کام، اوقات اور احتمال فرضی ہیں۔ درج ذیل تعلیمی حوالوں سے تعریف اور طریقے کی تائید ہوتی ہے؛ وہ اس مثال کو حقیقی کارکردگی کے اعداد نہیں بناتے۔

1. OpenStax، Statistics §4.2: احتمال کے مطابق وزنی اوسط اور مختصر مدت کے نتائج کی حد۔
2. Penn State STAT414، Lesson 7: متفرد نتائج اور احتمال کی درست تقسیم۔
3. Penn State STAT414، Lesson 8: متوقع قدر اور نظری اوسط کو کسی ایک حاصل شدہ نتیجے سے الگ سمجھنا۔
4. Northeastern University، Random Variables §2.1: محدود نتائج کی متوقع قدر، جمع کے اصول اور آزادی کی متعلقہ شرائط۔
5. HM Treasury، The Green Book (2026): برطانیہ کے سرکاری منصوبوں کی جانچ میں حساسیت اور جواب بدلنے کی حد کا طریقہ۔ یہ محدود طریقہ جاتی حوالہ ہے، دنیا بھر کا مالی یا قانونی اصول نہیں۔

تعریف اور طریقے کے منتخب حوالوں کی جانچ: 18 اکتوبر 2026۔ یہ جانچ کی تاریخ ہے، ان سب حوالوں کی اشاعت کی تاریخ نہیں۔ Green Book کے صفحے پر تازہ کاری 5 فروری 2026 درج ہے۔