L’espérance n’est pas un résultat garanti

Définissez le résultat et son unité

Pour calculer l’espérance, multipliez chaque résultat possible par sa probabilité, puis additionnez les produits. Vous obtenez une moyenne pondérée, dans la même unité que les résultats. Il faut d’abord choisir ce que vous mesurez : durée totale, temps économisé avant déduction de la préparation ou gain de temps net après cette déduction. Ces quantités sont différentes.

Imaginons une tâche qui prend normalement 60 minutes. Une autre méthode demande 12 minutes de préparation à chaque tentative, puis 20, 45 ou 75 minutes de travail. Nous attribuons à ces cas les probabilités 1/4, 1/2 et 1/4. Durées et probabilités sont inventées pour l’explication, sans mesure de performance réelle. Les gains de temps nets sont 28, 3 et −27 minutes ; un nombre négatif signifie du temps supplémentaire.

Sous ces hypothèses, le gain de temps net attendu vaut 7/4, soit 1,75 minute. Ce calcul ne garantit pas que la prochaine tentative économisera exactement ce temps et ne prouve pas l’exactitude des probabilités supposées.

Recensez des cas complets et incompatibles

Dans une tentative du modèle, un seul cas se produit et les trois lignes couvrent toutes les possibilités. Chaque probabilité doit être positive ou nulle, et leur somme égale à 1 : 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1. Ces cas sont incompatibles, pas indépendants au sein d’une même tentative : si l’un se produit, les deux autres ne se produisent pas simultanément.

Si une tâche réelle peut prendre d’autres durées, ces lignes ne la décrivent pas entièrement. Il faudrait ajouter les cas et justifier leurs probabilités. Diviser des poids incomplets par leur somme ne rétablit pas un résultat omis.

Retirez une seule fois le temps de préparation

Notons X le nombre net de minutes économisées sur une tentative. E[X] = Σ pᵢxᵢ additionne chaque résultat xᵢ multiplié par sa probabilité pᵢ. Ici E[X] = 28 × 1/4 + 3 × 1/2 − 27 × 1/4 = 7 + 1,5 − 6,75 = 1,75 minute.

Avant déduction du temps de préparation, le gain de temps attendu est 60 − 46,25 = 13,75 minutes. Retirer 12 donne 1,75 minute. Si vous utilisez déjà 28, 3 et −27 comme résultats nets, ne retranchez pas encore 12 à leur espérance. La moyenne simple des trois nombres serait 4/3 minutes, mais elle ignore le poids plus élevé du cas intermédiaire et ne correspond pas à cette distribution.

Pour des quantités compatibles, E[G − C] = E[G] − E[C] ne demande pas d’indépendance. La préparation est ici fixe, à 12 minutes. Si elle varie selon le cas, retirez la durée correspondante dans chaque ligne avant pondération, sans double déduction ni mélange d’unités.

Séparez l’espérance de la probabilité d’un gain de temps net positif

Dans cet exemple, le gain de temps net attendu est 1,75 minute, alors qu’une tentative donne seulement 28, 3 ou −27 minutes. Aucune ligne ne vaut 1,75 ; cela ne signifie pas qu’une espérance ne puisse jamais coïncider avec un résultat possible dans un autre modèle. La probabilité d’un gain de temps net supérieur à 0 est 1/4 + 1/2 = 3/4, car les deux premiers cas économisent du temps. C’est la probabilité d’un événement précis, pas une quantité de minutes ni un taux d’achèvement de la tâche.

La moyenne observée après plusieurs tentatives dépend des résultats qui se sont effectivement produits. L’espérance du modèle provient des hypothèses ; elle n’assure pas qu’un ensemble fini d’observations ait exactement une moyenne de 1,75 minute.

Modifiez la préparation en conservant les autres hypothèses

Notons c la préparation fixe par tentative, en minutes. Conservons les durées de travail et leurs probabilités initiales. Le gain net attendu devient E[X] = 55/4 − c = 13,75 − c minutes. Les résultats nets des lignes changent, mais pas la distribution de la durée du travail.

Le seuil de 13,75 minutes est algébrique et conditionnel, non une durée de préparation mesurée ou une garantie de ne pas dépasser la référence sur une tentative. Si les durées ou les probabilités changent aussi, l’ancien seuil ne décrit plus le nouveau modèle.

Changez les probabilités en gardant une somme égale à 1

Revenons à 12 minutes de préparation. Gardons la probabilité intermédiaire à 1/2, appelons q celle du cas long et attribuons 1/2 − q au cas court. Augmenter q transfère donc de la probabilité du court vers le long. Pour 0 ≤ q ≤ 1/2, les trois poids restent positifs ou nuls et leur somme vaut 1.

On obtient E[X] = 28(1/2 − q) + 3(1/2) − 27q = 31/2 − 55q minutes. L’espérance s’annule pour q = 31/110. Cette fraction est le seuil de changement de signe avec les autres paramètres fixés, pas une estimation de la fréquence réelle du cas long.

Ce sont des hypothèses alternatives, pas des probabilités mesurées ou une plage plausible validée. La sensibilité montre de quelles entrées dépend la réponse, sans prouver leur exactitude. Une application réelle demanderait des éléments sur les cas, les durées et les probabilités, y compris les résultats éventuellement oubliés.

Une espérance positive n’exclut pas de perdre du temps

Le cas long initial prend 87 minutes avec préparation, soit 27 de plus que la référence. Sa probabilité reste 1/4 malgré une espérance positive du gain de temps net. Une seule moyenne ne décrit pas toutes les possibilités.

Aucun gain net n’est garanti après un nombre fixe de tentatives. Même en ajoutant l’hypothèse qu’elles sont indépendantes, une suite finie ne comprenant que des cas longs garde une probabilité supérieure à 0. C’est une limite de la garantie, non une raison de répéter pour récupérer du temps perdu.

Questions fréquentes

Pourquoi l’espérance peut-elle ne correspondre à aucun résultat ?

Une moyenne pondérée n’est pas nécessairement l’un des résultats possibles, même si elle peut parfois coïncider avec l’un d’eux. Ici, le gain de temps net attendu vaut 1,75 minute, contre 28, 3 ou −27 minutes par tentative. Lisez la liste des résultats à côté de la moyenne pour voir les possibilités qu’un seul chiffre ne présente pas séparément.

Une probabilité de 75 % d’un gain de temps net positif équivaut-elle à 1,75 minute ?

Non. Les 75 % additionnent les probabilités des deux résultats nets supérieurs à 0. L’espérance pondère les trois durées, y compris −27 minutes. La probabilité n’a pas d’unité de temps ; le gain de temps net attendu se mesure en minutes.

Comment lire le calcul si les probabilités sont supposées ?

La réponse est conditionnelle. Nommez les hypothèses, gardez une distribution valide et montrez l’effet d’une modification des entrées. Le calcul ne transforme pas les hypothèses en fréquences observées et ne garantit aucun résultat réel. Il ne permet pas non plus de retirer deux fois la préparation.

Lectures complémentaires

Ces guides existants expliquent les prix des contrats événementiels, les coûts réels et les ordres. Ce sont des lectures complémentaires, pas une invitation à participer ni une confirmation d’éligibilité.

Sources et périmètre

La tâche, les durées et les probabilités sont fictives. Les sources soutiennent les définitions et la méthode, non une performance réelle, un salaire, un revenu ou une éligibilité personnelle. Consultation le 17 octobre 2026, distincte de la publication. La page du Green Book indique une mise à jour du 5 février 2026.

1. OpenStax, Statistics, section 4.2 — Espérance comme moyenne pondérée par les probabilités.
2. Penn State STAT414, leçon 7 — Résultats discrets et distributions de probabilité valides.
3. Penn State STAT414, leçon 8 — Espérance, transformations et distinction entre moyenne et résultat réalisé.
4. Northeastern University, Random Variables, section 2.1 — Espérance finie, linéarité et conditions d’indépendance.
5. HM Treasury, The Green Book (2026) — Méthodes de sensibilité et seuils de changement pour l’évaluation publique britannique uniquement, pas des règles financières ou juridiques mondiales.