Il valore atteso non è un risultato garantito

Definire risultato e unità di misura

Prima di calcolare un valore atteso, scegli la grandezza che vuoi descrivere. Il tempo di lavoro non è il tempo risparmiato, e il risparmio prima della preparazione non è quello netto. Il valore atteso si ottiene moltiplicando ogni valore possibile per la sua probabilità e sommando: è una media ponderata, con la stessa unità dei risultati.

Immagina un'attività che richiede normalmente 60 minuti. Un metodo diverso comporta 12 minuti di preparazione a ogni tentativo e poi 20, 45 oppure 75 minuti di lavoro. Assegniamo ai tre casi probabilità 1/4, 1/2 e 1/4. Sono tempi e probabilità inventati, non misure reali. Il risparmio netto è quindi 28, 3 oppure −27 minuti: il segno negativo indica tempo in più rispetto ai 60 minuti iniziali.

Elencare tre casi completi e incompatibili

I casi devono escludersi a vicenda e coprire tutte le possibilità del modello. Ogni probabilità deve essere non negativa e la somma deve essere 1. Qui si verifica un solo caso per tentativo, con 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1. Questi tre eventi non sono indipendenti: se si verifica uno, gli altri due non si verificano nello stesso tentativo.

Se nella realtà sono possibili altri tempi, la tabella è incompleta. Occorre aggiungere i casi mancanti e giustificare le probabilità. Riportare a 1 la somma dei soli pesi rimasti non ricostruisce un risultato omesso.

Sottrarre una sola volta il tempo di preparazione

Indica con X i minuti netti risparmiati. La formula è E[X] = Σ pᵢxᵢ. In questo caso: 28 × 1/4 + 3 × 1/2 + (−27) × 1/4 = 7 + 1,5 − 6,75 = 1,75 minuti. Il caso centrale pesa il doppio di ciascuno degli altri due: non basta sommare i tre valori e dividerli per tre.

Il tempo di lavoro atteso è 46,25 minuti. Prima della preparazione il risparmio atteso è dunque 60 − 46,25 = 13,75 minuti; sottraendo 12 una volta si ottengono 1,75 minuti. Nei valori netti 28, 3 e −27 la preparazione è già inclusa. Sottrarla ancora dopo la media significherebbe contarla due volte. La media semplice di 4/3 minuti usa invece pesi uguali e non corrisponde a questa distribuzione.

Per sottrarre valori attesi non serve assumere indipendenza tra lavoro e preparazione. Qui la preparazione è costante; se cambia secondo il caso, devi usare il tempo pertinente in ciascuna riga. Mantieni coerenti le unità: minuti e importi monetari non si sottraggono direttamente.

Distingui media, esiti possibili e probabilità di un risparmio netto positivo

In questa tabella il valore atteso del risparmio netto è 1,75 minuti, ma i risultati possibili sono 28, 3 e −27 minuti. La probabilità di un risparmio netto di tempo positivo è 3/4, cioè 75%, perché i primi due casi fanno risparmiare tempo. La media di 1,75 minuti e la probabilità del 75% rispondono a domande diverse: una misura una quantità di tempo, l'altra indica la probabilità di un evento.

Un valore atteso può coincidere con un risultato possibile in altri modelli: non è escluso in generale. Qui 1,75 non compare fra i tre risultati. Anche la media osservata dopo alcuni tentativi è distinta dal valore atteso del modello: dipende dai risultati realmente avvenuti e non deve coincidere esattamente con esso dopo un numero fissato di prove.

Cambia il tempo di preparazione mantenendo le altre ipotesi

Lascia invariati tempi di lavoro e probabilità originali, ma chiama c il tempo di preparazione in minuti per ogni tentativo. Il risparmio netto atteso diventa 55/4 − c, ossia 13,75 − c minuti. In questo confronto cambia una sola ipotesi.

La soglia di 13,75 minuti deriva dalle ipotesi del modello. Non stima una preparazione reale e non garantisce un risparmio nullo nel singolo tentativo. Se cambiano anche i tempi o le probabilità, questa soglia non vale più senza un nuovo calcolo.

Cambiare le ipotesi mantenendo la somma delle probabilità

Riporta la preparazione a 12 minuti e lascia a 1/2 la probabilità del caso centrale. Assegna probabilità q al caso lungo e 1/2 − q al caso breve. Per 0 ≤ q ≤ 1/2 i pesi sono non negativi e continuano a sommare a 1.

Il risparmio netto atteso è 28(1/2 − q) + 3(1/2) − 27 q = 15,5 − 55 q minuti, pari a zero per q = 31/110. Aumentare q sposta probabilità dal caso breve a quello lungo; non aumenta un solo peso lasciando tutti gli altri invariati.

Queste sono ipotesi di confronto, non probabilità misurate né un intervallo di plausibilità verificato. L'analisi di sensibilità mostra quanto il risultato dipende dagli input, ma non prova che siano corretti. Per applicare il modello a un'attività reale servono dati sui casi, sui tempi e sulle probabilità.

Un valore atteso positivo non garantisce un risparmio

Il caso lungo richiede 75 + 12 = 87 minuti, quindi 27 minuti più del riferimento. La sua probabilità resta 1/4 anche con un valore atteso positivo. La sola media non descrive tutti gli esiti possibili.

Neppure un numero fissato di tentativi garantisce un risparmio complessivo. Anche aggiungendo l'ipotesi di tentativi indipendenti, una sequenza finita di soli casi lunghi conserva probabilità positiva. Questo non giustifica ripetere un'attività per compensare un esito sfavorevole.

Domande frequenti

Perché il valore atteso può non comparire tra i risultati?

È una media ponderata, non la scelta di un singolo risultato. Qui i valori possibili sono 28, 3 e −27 minuti e la media è 1,75 minuti. In un'altra distribuzione, invece, il valore atteso può coincidere con un risultato possibile.

Il 75% di probabilità equivale a 1,75 minuti attesi?

No. Il 75% indica la probabilità di ottenere un risparmio netto di tempo. La media di 1,75 minuti tiene conto di tutte le quantità, anche di quella negativa. Una probabilità non ha unità di tempo, mentre il risparmio atteso si misura in minuti.

Come si interpretano probabilità soltanto ipotizzate?

Il risultato è condizionato da quelle ipotesi. Confronta distribuzioni valide e rendi esplicito ciò che cambia. L'analisi di sensibilità non trasforma probabilità assunte in frequenze misurate o in una garanzia.

Fonti e limiti

I tempi e le probabilità dell'esempio sono inventati. Le fonti sostengono definizioni e metodi matematici, non prestazioni reali di lavoro.

1. 4.2 Mean or Expected Value and Standard Deviation - Statistics | OpenStax: Valore atteso come media ponderata per le probabilità.
2. Penn State STAT414, Lesson7: Discrete Random Variables: Risultati discreti e condizioni di una distribuzione valida.
3. Penn State STAT414, Lesson8: Mathematical Expectation: Valori attesi, trasformazioni e distinzione tra media e risultato realizzato.
4. Chapter2 Random Variables, version2.50: Aspettative finite, linearità e condizioni sull'indipendenza.
5. The Green Book (2026): Sensibilità e valori soglia nella valutazione del settore pubblico del Regno Unito; non una regola finanziaria o legale mondiale.

Fonti verificate il 17 ottobre 2026: è la data di consultazione, non di pubblicazione. La pagina del Green Book indica un aggiornamento al 5 febbraio 2026.