期望值不是保證結果：先看懂淨節省時間

先決定要算哪一種結果

期望值是把每個可能結果乘上它的機率，再將乘積加總，也就是以機率加權的平均。結果用什麼單位，期望值就用什麼單位。先分清楚你在算總耗時、未扣準備的節省時間，還是扣除準備後的淨節省時間，才不會把不同的量混在一起。

假設原方法完成一項任務要60分鐘。另一種方法每次都先準備12分鐘，接著可能花20、45或75分鐘做事，假設機率依序是1/4、1/2、1/4。這些數字是為了教學設定的，不是真實工作效率或發生率。扣除準備後，三種淨節省時間是28、3、−27分鐘；負數代表比原方法多花時間。

在這組條件下，期望淨節省為7/4，也就是1.75分鐘。這不是下一次一定節省的時間，也不是假設機率正確的證據。以下把計算、結果的解讀，以及假設改變後的差異分開看。

三種情況必須互斥，而且完整

模型中的一次任務只會落在其中一行，三行也涵蓋全部可能。每個機率都不能小於0，總和要等於1：1/4 + 1/2 + 1/4 = 1。這三個情況不是同一次任務中「互相獨立」的事件；一個發生，另外兩個便不會同時發生。

如果實際還有其他耗時，三行就沒有涵蓋完整情況。必須補上遺漏結果，並說明機率的依據；把原有權重除以總和，並不會自動找回漏掉的情況。

準備時間只扣一次

以X表示一次任務淨節省的分鐘數，E[X] = Σ pᵢxᵢ就是把各結果xᵢ乘上機率pᵢ後相加。本例E[X] = 28 × 1/4 + 3 × 1/2 − 27 × 1/4 = 7 + 1.5 − 6.75 = 1.75分鐘。

未扣準備時，期望節省是60 − 46.25 = 13.75分鐘，再扣12才得到1.75分鐘。如果已經用28、3、−27這些淨結果計算，就不能再從期望值扣12。三項直接等權平均會得到4/3分鐘，但中間情況原本有1/2的機率，因此那不是這組分配的期望值。

對相同單位的量，E[G − C] = E[G] − E[C]這個期望值相減規則不要求獨立。本例的準備固定為12分鐘；如果每種情況的準備不同，就應在各行扣對應時間後加權，不能重複扣除或混用單位。

淨節省為正的機率，不是期望節省分鐘數

本例的期望淨節省是1.75分鐘，一次的結果卻只有28、3或−27分鐘，沒有一項是1.75。這是本例的特性，不代表期望值永遠不可能等於某個結果。淨節省大於0的機率是1/4 + 1/2 = 3/4，因為前兩種情況有省時。機率3/4沒有分鐘單位，不能和期望淨節省1.75分鐘當成同一件事。

做完幾次之後計算的實際平均，取決於那幾次發生了什麼。這裡的期望值來自假設分配，不保證任何有限次觀察的平均都會是1.75分鐘，也不是任務能否完成的成功率。

只改準備時間，先固定其他假設

以c表示每次固定準備的分鐘數，保留原作業耗時與機率。期望淨節省變成E[X] = 55/4 − c = 13.75 − c分鐘。此時改的是各行的淨結果，作業耗時的機率分配並沒有改變。

13.75分鐘是這組假設下的代數結果，不是量到的準備時間，也不保證某一次剛好沒有多花時間。若作業耗時或機率也變動，原先的臨界點便不能直接代表新模型。

改機率時，總和仍要等於1

把準備恢復為12分鐘，固定中間情況機率為1/2，較長耗時機率設為q，較短耗時的機率便設為1/2 − q。增加q相當於把機率從較短情況移到較長情況。在0 ≤ q ≤ 1/2範圍內，三項才都非負且總和為1。

這時E[X] = 28(1/2 − q) + 3(1/2) − 27q = 31/2 − 55q分鐘。令期望值為0，可得q = 31/110。這只是固定其他條件後的期望淨節省正負號改變的臨界值，不是實際較長耗時發生率的估計。

表中是不同假設，不是實測機率，也不是已證實的合理範圍。敏感度分析顯示答案如何依賴輸入，卻無法驗證輸入是否正確。真實應用仍需為情況、耗時與機率提供依據，並檢查有沒有遺漏結果。

正的期望值，也保留多花時間的可能

原模型較長情況加上準備共87分鐘，比基準多27分鐘。即使期望淨節省為正，這個情況仍有1/4機率。只看平均數，無法看見全部可能差異。

做固定次數也不保證最後淨節省。即使另外假設每次彼此獨立，有限次全部遇到較長情況，仍有正機率。這是在說明保證的限制，不是鼓勵重複嘗試來追回已花的時間。

常見問題

為什麼可能沒有一次結果等於期望值？

因為加權平均不一定是某個可能結果，但也可能剛好相同。本例期望淨節省為1.75分鐘，一次只會得到28、3或−27分鐘。把結果清單放在平均數旁邊，才能一起看見各種情況，而不是把期望當成下一次的保證。

淨節省時間為正的機率75%，和期望1.75分鐘有何不同？

75%只加總兩個淨節省大於0的情況機率；期望值則把三個時間結果都加權，包含−27分鐘。機率沒有時間單位，期望淨節省則以分鐘表示，兩者不能互換。

不知道真實機率時，該如何讀這個例子？

答案只在這些假設下成立。要把假設標清楚，維持有效的機率分配，並看輸入改變時答案如何變動。算式不會讓假設成為實測頻率，也不保證真實任務結果；準備時間更不能重複扣除。

延伸閱讀

若要了解事件契約價格、實際費用或委託流程，可參考以下既有說明。這些是補充閱讀，不是參與推薦或使用資格確認。

資料來源與說明範圍

任務、時間與機率是為教學設計的架空例子。以下資料支持數學定義與方法，不證明真實效率，也不換算薪資、推薦商品或確認個人參與資格。查閱日為2026年10月17日，不是資料發行日；Green Book頁面標示2026年2月5日更新。

1. OpenStax：Statistics第4.2節 — 期望值作為機率加權平均的定義。
2. Penn State STAT414：第7課 — 離散結果與有效機率分配。
3. Penn State STAT414：第8課 — 期望值、轉換及平均與實際結果的差別。
4. Northeastern University：Random Variables第2.1節 — 有限期望、線性與獨立性的條件。
5. 英國財政部：The Green Book（2026） — 只參考英國公共方案評估中的敏感度與臨界值方法，不是全球個人金融或法律規則。