Ein Erwartungswert ist kein garantiertes Ergebnis

Ergebnis und Einheit zuerst festlegen

Ein Erwartungswert fasst mögliche Ergebnisse mit ihren Wahrscheinlichkeiten zusammen. Dafür multiplizieren Sie jeden Ergebniswert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addieren die Produkte. Legen Sie vorher fest, was der Wert beschreibt: Bearbeitungszeit, eingesparte Zeit oder Zeitersparnis nach der Vorbereitung. Der Erwartungswert behält die Einheit der Ergebniswerte.

Nehmen wir eine erfundene Aufgabe, die bisher 60 Minuten dauert. Ein anderes Verfahren braucht bei jedem Versuch 12 Minuten Vorbereitung und anschließend 20, 45 oder 75 Minuten Bearbeitung. Wir setzen die Wahrscheinlichkeiten auf 1/4, 1/2 und 1/4. Das sind Annahmen, keine Messdaten. Nach der Vorbereitung bleiben 28, 3 oder −27 Minuten Zeitersparnis. Ein negativer Wert bedeutet zusätzlichen Zeitbedarf.

Drei vollständige, sich ausschließende Fälle erfassen

Die Fälle müssen sich gegenseitig ausschließen und zusammen alle Möglichkeiten des Modells abdecken. Jede Wahrscheinlichkeit ist mindestens null; ihre Summe beträgt 1. Hier tritt genau einer der drei Fälle ein, und 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1. Die drei Ereignisse eines Versuchs sind nicht unabhängig: Tritt eines ein, sind die beiden anderen ausgeschlossen.

Sind bei einer realen Aufgabe weitere Bearbeitungszeiten möglich, reicht diese Tabelle nicht aus. Dann müssen Sie die Fälle ergänzen und ihre Wahrscheinlichkeiten begründen. Die übrigen Gewichte auf die Summe 1 umzurechnen ersetzt keinen fehlenden Fall.

Die Vorbereitungszeit nur einmal abziehen

Für die Nettozeitersparnis X gilt E[X] = Σ pᵢxᵢ. Mit den Tabellenwerten ergibt sich 28 × 1/4 + 3 × 1/2 + (−27) × 1/4 = 7 + 1,5 − 6,75 = 1,75 Minuten. Einfache Mittelung durch drei wäre falsch: Der mittlere Fall hat das doppelte Gewicht der anderen Fälle.

Ohne Vorbereitung beträgt die erwartete Zeitersparnis 60 − 46,25 = 13,75 Minuten. Ziehen Sie davon einmal 12 Minuten ab, erhalten Sie 1,75 Minuten. In den Nettoergebnissen 28, 3 und −27 ist die Vorbereitung dagegen bereits enthalten. Nochmals 12 abzuziehen würde sie doppelt zählen. Das ungewichtete Mittel 4/3 Minuten passt nicht zu dieser Verteilung.

Für das Subtrahieren von Erwartungswerten ist keine Unabhängigkeit nötig. Im Beispiel ist die Vorbereitung konstant. Dauert sie je nach Fall unterschiedlich lange, muss die jeweilige Dauer im passenden Nettoergebnis stehen. Rechnen Sie mit einheitlichen Größen; Minuten und Geldbeträge lassen sich nicht unmittelbar voneinander abziehen.

Mittelwert, Ergebnis und Wahrscheinlichkeit einer Nettozeitersparnis trennen

In diesem Modell ist die erwartete Nettozeitersparnis 1,75 Minuten. Möglich sind aber nur 28, 3 oder −27 Minuten. Die Wahrscheinlichkeit einer positiven Nettozeitersparnis beträgt 3/4 oder 75%, weil die ersten beiden Fälle Zeit sparen. Die 1,75 Minuten beschreiben einen gewichteten Mittelwert; die 75% beschreiben die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses.

Allgemein kann ein Erwartungswert durchaus einem möglichen Ergebnis entsprechen. Nur in dieser Tabelle kommt 1,75 nicht als Ergebnis vor. Ein aus tatsächlich abgeschlossenen Versuchen berechneter Durchschnitt ist außerdem etwas anderes: Er hängt von den beobachteten Ergebnissen ab und muss nach einer festen Anzahl von Versuchen nicht genau dem Modellwert entsprechen.

Vorbereitungszeit ändern, andere Annahmen festhalten

Lassen Sie Bearbeitungszeiten und ursprüngliche Wahrscheinlichkeiten unverändert und nennen Sie die Vorbereitung pro Versuch c Minuten. Dann ist die erwartete Nettozeitersparnis 55/4 − c = 13,75 − c Minuten. So wird nur eine Annahme verändert.

Die Grenze von 13,75 Minuten ist ein Rechenergebnis des Modells. Sie schätzt keine reale Vorbereitungszeit und garantiert nicht, dass ein einzelner Versuch genau null Minuten spart. Ändern sich Zeiten oder Wahrscheinlichkeiten, ist auch die Grenze neu zu bestimmen.

Annahmen ändern, ohne die Wahrscheinlichkeiten zu verfälschen

Setzen Sie die Vorbereitung wieder auf 12 Minuten. Die Wahrscheinlichkeit des mittleren Falls bleibt 1/2. Der lange Fall erhält die Wahrscheinlichkeit q, der kurze Fall 1/2 − q. Für 0 ≤ q ≤ 1/2 sind alle Gewichte nichtnegativ und ergeben weiterhin die Summe 1.

Damit gilt E[X] = 28(1/2 − q) + 3(1/2) − 27 q = 15,5 − 55 q Minuten. Bei q = 31/110 ist der Erwartungswert null. Wird q erhöht, wandert gleich viel Wahrscheinlichkeit vom kurzen zum langen Fall; es wird nicht nur ein einzelnes Gewicht vergrößert.

Diese Varianten sind angenommene Verteilungen, weder gemessene Wahrscheinlichkeiten noch ein belegter plausibler Bereich. Eine Sensitivitätsrechnung zeigt, wie die Antwort von den Eingaben abhängt. Sie beweist nicht, dass die Eingaben stimmen. Für eine reale Anwendung fehlen hier die entsprechenden Daten und Begründungen.

Ein positiver Erwartungswert garantiert keine Zeitersparnis

Im langen Fall dauert die Aufgabe einschließlich Vorbereitung 87 Minuten, also 27 Minuten länger als zuvor. Seine Wahrscheinlichkeit bleibt 1/4, obwohl der Erwartungswert positiv ist. Ein Mittelwert allein beschreibt die möglichen Ergebnisse nicht vollständig.

Auch nach einer festgelegten Anzahl von Versuchen ist eine Zeitersparnis nicht garantiert. Selbst unter der zusätzlichen Annahme unabhängiger Versuche bleibt eine endliche Folge ausschließlich langer Fälle möglich. Daraus folgt keine Empfehlung, ungünstige Ergebnisse durch Wiederholung ausgleichen zu wollen.

Häufige Fragen

Warum muss der Erwartungswert nicht in der Liste möglicher Ergebnisse stehen?

Er ist ein gewichtetes Mittel, keine Auswahl eines einzelnen Ergebnisses. Hier sind 28, 3 und −27 Minuten möglich, während der Erwartungswert 1,75 Minuten beträgt. In anderen Verteilungen kann ein Mittelwert mit einem möglichen Ergebnis übereinstimmen.

Sind 75% Wahrscheinlichkeit dasselbe wie 1,75 Minuten?

Nein. Die 75% beziehen sich auf eine positive Nettozeitersparnis. Die 1,75 Minuten gewichten sämtliche Nettoergebnisse, auch das negative. Die Wahrscheinlichkeit hat keine Zeiteinheit; der erwartete Zeitgewinn hat die Einheit Minuten.

Was sagen nur angenommene Wahrscheinlichkeiten aus?

Das Ergebnis gilt unter diesen Annahmen. Prüfen Sie alternative gültige Verteilungen und zeigen Sie die Abhängigkeit. Die Sensitivitätsrechnung macht aus angenommenen Wahrscheinlichkeiten weder Messwerte noch eine Ergebnisgarantie.

Quellen und Geltungsbereich

Zeiten und Wahrscheinlichkeiten wurden für dieses Beispiel erfunden. Die Quellen begründen mathematische Definitionen und Methoden, nicht reale Arbeitsergebnisse.

1. 4.2 Mean or Expected Value and Standard Deviation - Statistics | OpenStax: Erwartungswert als wahrscheinlichkeitsgewichtetes Mittel.
2. Penn State STAT414, Lesson7: Discrete Random Variables: Diskrete Ergebnisse und Bedingungen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.
3. Penn State STAT414, Lesson8: Mathematical Expectation: Erwartungswerte, Transformationen und die Abgrenzung zum realisierten Wert.
4. Chapter2 Random Variables, version2.50: Endliche Erwartungswerte, Linearität und Voraussetzungen der Unabhängigkeit.
5. The Green Book (2026): Sensitivität und Umschlagwerte bei Bewertungen im öffentlichen Sektor des Vereinigten Königreichs; keine weltweite Finanz- oder Rechtsregel.

Quellenstand der Prüfung: 17. Oktober 2026, nicht das Veröffentlichungsdatum der Quellen. Die Green-Book-Seite nennt den 5. Februar 2026 als Aktualisierung.