Kỳ vọng không phải kết quả chắc chắn

Xác định kết quả và đơn vị trước khi tính kỳ vọng

Cách tính kỳ vọng là nhân từng kết quả có thể xảy ra với xác suất tương ứng, rồi cộng các tích. Đó là trung bình có trọng số xác suất, mang cùng đơn vị với kết quả. Cần xác định rõ bạn đang tính tổng thời gian, thời gian tiết kiệm trước khi trừ thời gian chuẩn bị hay thời gian tiết kiệm ròng sau khi trừ thời gian chuẩn bị. Ba đại lượng này không giống nhau.

Giả sử cách cũ cần 60 phút để làm một việc. Cách khác cần 12 phút chuẩn bị cho mỗi lần, rồi phần việc mất 20, 45 hoặc 75 phút, với xác suất giả định lần lượt là 1/4, 1/2 và 1/4. Đây là số liệu đặt ra để minh họa, không phải kết quả đo hiệu suất. Sau khi trừ chuẩn bị, ba kết quả tiết kiệm ròng là 28, 3 và −27 phút; số âm nghĩa là mất thêm thời gian.

Với các giả định đó, kỳ vọng tiết kiệm ròng bằng 7/4, tức 1,75 phút. Con số này không bảo đảm lần tới tiết kiệm đúng 1,75 phút, cũng không xác nhận các xác suất giả định là chính xác.

Liệt kê đủ các trường hợp không chồng lấn

Trong một lần của mô hình, chỉ một trong ba trường hợp xảy ra và ba hàng bao quát toàn bộ khả năng. Mỗi xác suất phải không âm, tổng bằng 1: 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1. Các trường hợp trong cùng lần là loại trừ nhau, không phải độc lập: một trường hợp xảy ra thì hai trường hợp còn lại không cùng xảy ra.

Nếu công việc thực có những thời gian khác, mô hình ba hàng chưa đầy đủ. Cần bổ sung trường hợp và căn cứ cho xác suất. Chia các trọng số đang có cho tổng của chúng không tự khôi phục một kết quả đã bỏ sót.

Trừ thời gian chuẩn bị đúng một lần

Gọi X là số phút tiết kiệm ròng trong một lần. E[X] = Σ pᵢxᵢ nghĩa là cộng từng kết quả xᵢ nhân xác suất pᵢ. Ở đây E[X] = 28 × 1/4 + 3 × 1/2 − 27 × 1/4 = 7 + 1,5 − 6,75 = 1,75 phút.

Trước khi trừ thời gian chuẩn bị, kỳ vọng tiết kiệm là 60 − 46,25 = 13,75 phút. Trừ 12 được 1,75 phút. Nếu đã dùng 28, 3 và −27 là kết quả ròng, không trừ thêm 12 khỏi kỳ vọng. Trung bình cộng đều ba kết quả là 4/3 phút, nhưng không đúng cho phân phối này vì trường hợp giữa có trọng số lớn hơn.

Với các đại lượng cùng đơn vị, quy tắc E[G − C] = E[G] − E[C] không đòi hỏi chúng độc lập. Chuẩn bị ở đây cố định 12 phút. Nếu nó thay đổi theo trường hợp, hãy trừ thời gian tương ứng ở từng hàng trước khi tính trung bình có trọng số; không trừ lặp hoặc trộn đơn vị.

Phân biệt kỳ vọng với xác suất tiết kiệm ròng lớn hơn 0

Trong ví dụ này, kỳ vọng tiết kiệm ròng là 1,75 phút, còn một lần chỉ cho 28, 3 hoặc −27 phút. Không có hàng nào bằng 1,75, nhưng điều đó không có nghĩa kỳ vọng không bao giờ bằng một kết quả có thể xảy ra trong mô hình khác. Xác suất tiết kiệm ròng lớn hơn 0 là 1/4 + 1/2 = 3/4 vì hai hàng đầu tiết kiệm thời gian. Đó là xác suất của một sự kiện cụ thể, không phải số phút kỳ vọng hay xác suất hoàn thành công việc.

Trung bình tính từ những lần đã làm phụ thuộc vào kết quả thực sự xuất hiện. Kỳ vọng ở đây đến từ phân phối giả định, không bảo đảm một tập quan sát hữu hạn sẽ có trung bình đúng 1,75 phút.

Đổi thời gian chuẩn bị, giữ các giả định khác

Gọi c là số phút chuẩn bị cố định mỗi lần. Giữ nguyên thời gian làm và các xác suất ban đầu, kỳ vọng tiết kiệm ròng là E[X] = 55/4 − c = 13,75 − c phút. Các kết quả ròng thay đổi, còn phân phối thời gian làm không đổi.

Ngưỡng 13,75 phút là kết quả đại số có điều kiện, không phải thời gian chuẩn bị đã đo và không bảo đảm một lần không mất thêm thời gian. Nếu thời gian làm hoặc xác suất cũng đổi, ngưỡng cũ không còn mô tả mô hình mới.

Thay xác suất nhưng vẫn giữ tổng bằng 1

Đưa chuẩn bị về 12 phút. Giữ xác suất trường hợp giữa bằng 1/2, đặt xác suất làm lâu nhất là q và xác suất làm nhanh nhất là 1/2 − q. Tăng q tức là chuyển xác suất từ trường hợp nhanh sang chậm. Với 0 ≤ q ≤ 1/2, ba trọng số đều không âm và tổng vẫn bằng 1.

Khi đó E[X] = 28(1/2 − q) + 3(1/2) − 27q = 31/2 − 55q phút. Kỳ vọng bằng 0 khi q = 31/110. Đây chỉ là ngưỡng đổi dấu dưới các điều kiện đã giữ cố định, không phải ước tính tần suất thực của trường hợp chậm.

Đây là các giả định thay thế, không phải xác suất đo được hay khoảng hợp lý đã được kiểm chứng. Phân tích độ nhạy cho thấy đầu vào ảnh hưởng câu trả lời thế nào, chứ không xác nhận đầu vào đúng. Ứng dụng thực cần bằng chứng cho trường hợp, thời gian, xác suất và cả kết quả có thể bị bỏ sót.

Kỳ vọng lớn hơn 0 vẫn cho phép mất thêm thời gian

Trường hợp chậm của mô hình gốc mất 87 phút gồm chuẩn bị, nhiều hơn mốc 27 phút. Nó vẫn có xác suất 1/4 dù kỳ vọng tiết kiệm ròng lớn hơn 0. Một con số trung bình không mô tả hết mọi kết quả.

Làm một số lần cố định cũng không bảo đảm tổng tiết kiệm ròng lớn hơn 0. Ngay cả khi thêm giả định các lần độc lập, một chuỗi hữu hạn chỉ gặp trường hợp chậm vẫn có xác suất lớn hơn 0. Đây là giới hạn của lời khẳng định, không phải khuyến khích lặp lại để bù thời gian đã mất.

Câu hỏi thường gặp

Vì sao kỳ vọng có thể khác mọi kết quả trong bảng?

Trung bình có trọng số không nhất thiết trùng với một kết quả có thể xảy ra, dù đôi khi có thể trùng. Ở đây, kỳ vọng tiết kiệm ròng là 1,75 phút, còn mỗi lần cho 28, 3 hoặc −27 phút. Hãy đọc danh sách kết quả cùng với kỳ vọng để thấy các khả năng mà một số trung bình không thể hiện riêng.

Xác suất tiết kiệm ròng lớn hơn 0 là 75% khác 1,75 phút thế nào?

75% cộng xác suất của hai kết quả ròng lớn hơn 0. Kỳ vọng thì lấy trung bình có trọng số của cả ba lượng thời gian, kể cả −27 phút. Xác suất không có đơn vị thời gian; kỳ vọng tiết kiệm ròng có đơn vị phút.

Nếu xác suất chỉ là giả định thì sao?

Kết quả chỉ đúng có điều kiện theo giả định. Cần ghi rõ chúng, giữ phân phối hợp lệ và trình bày ảnh hưởng khi đầu vào đổi. Phép tính không biến giả định thành xác suất quan sát, không bảo đảm kết quả thực và không cho phép trừ chuẩn bị hai lần.

Đọc thêm

Các bài hiện có dưới đây giải thích giá hợp đồng sự kiện, chi phí thực tế và quy trình đặt lệnh. Đây là đọc thêm, không khuyến nghị tham gia hay xác nhận điều kiện sử dụng.

Nguồn và phạm vi

Công việc, thời gian và xác suất trong ví dụ đều được đặt ra. Nguồn hỗ trợ định nghĩa toán và phương pháp, không xác nhận hiệu suất thực, tiền lương, thu nhập hoặc điều kiện tham gia cá nhân. Ngày kiểm tra nguồn là 17 tháng 10 năm 2026; đây không phải ngày xuất bản của nguồn; trang Green Book ghi cập nhật ngày 5 tháng 2 năm 2026.

1. OpenStax, Statistics mục 4.2 — Kỳ vọng là trung bình có trọng số xác suất.
2. Penn State STAT414, bài 7 — Kết quả rời rạc và phân phối xác suất hợp lệ.
3. Penn State STAT414, bài 8 — Kỳ vọng, biến đổi và phân biệt trung bình với kết quả thực hiện.
4. Northeastern University, Random Variables mục 2.1 — Kỳ vọng hữu hạn, tính tuyến tính và điều kiện độc lập.
5. Bộ Tài chính Anh, The Green Book (2026) — Chỉ tham khảo phương pháp độ nhạy và ngưỡng chuyển đổi trong thẩm định công của Anh, không phải quy tắc tài chính hay pháp luật toàn cầu.