التوقع الرياضي لا يضمن النتيجة التالية

حدّد ما يمثله المتغير قبل حساب التوقع

التوقع الرياضي للمتغير العشوائي، أو القيمة المتوقعة، هو متوسط مرجّح باحتمالات النتائج. نضرب كل قيمة ممكنة في احتمالها، ثم نجمع نواتج الضرب. يبقى المتوسط بوحدة القيم نفسها؛ لكنه لا يختار النتيجة التالية. سنحسب هنا صافي الوقت الموفر بعد خصم وقت التحضير، لا مدة العمل وحدها.

افترض مهمة تستغرق بالطريقة المعتادة 60 دقيقة. تحتاج طريقة أخرى إلى 12 دقيقة تحضير في كل محاولة، ثم 20 أو 45 أو 75 دقيقة عمل. نفترض احتمالات 1/4 و1/2 و1/4 بالترتيب. هذه أوقات واحتمالات مختلقة للمثال، وليست قياسات لمهمة حقيقية. بعد حساب التحضير يصبح صافي الوقت الموفر 28 أو 3 أو −27 دقيقة؛ الإشارة السالبة تعني وقتاً إضافياً مقارنة بالطريقة المعتادة.

اجمع كل الحالات الممكنة من دون تداخل

تقع حالة واحدة فقط في كل محاولة. يجب أن تكون الحالات متنافية وأن تشمل معاً كل إمكانات النموذج. لا يقل أي احتمال عن الصفر، ومجموع الاحتمالات يساوي 1. هنا 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1. هذه الأحداث داخل المحاولة الواحدة ليست مستقلة: وقوع أحدها يستبعد الآخرين.

إذا كانت هناك مدد أخرى ممكنة للمهمة الحقيقية، فالجدول غير مكتمل. نحتاج إلى إضافة الحالات الناقصة وتبرير احتمالاتها. إعادة ضبط الأوزان الباقية ليصبح مجموعها واحداً لا تعيد نتيجة حُذفت من النموذج.

احسب التحضير مرة واحدة ثم رجّح النتائج الصافية

ليكن X صافي الدقائق الموفرة في محاولة. نستخدم E[X] = Σ pᵢxᵢ، حيث نضرب كل قيمة صافية في احتمالها. في المثال: 28 × 1/4 + 3 × 1/2 + (−27) × 1/4 = 7 + 1.5 − 6.75 = 1.75 دقيقة. وزن الحالة المتوسطة ضعف وزن كل حالة أخرى؛ لذلك لا يصح جمع القيم الثلاث وقسمتها على ثلاثة من دون مراعاة الأوزان.

قبل خصم التحضير يكون التوفير المتوقع 60 − 46.25 = 13.75 دقيقة. نطرح 12 مرة واحدة فنحصل على 1.75 دقيقة. أما القيم الصافية 28 و3 و−27 فقد احتسبت التحضير بالفعل؛ لا نخصمه ثانية من متوسطها. المتوسط البسيط 4/3 دقيقة يفترض أوزاناً متساوية، خلافاً لهذا التوزيع.

طرح التوقعات لا يشترط استقلال وقت العمل عن وقت التحضير. التحضير هنا ثابت لكل محاولة. إن اختلف بحسب الحالة، نستخدم المدة المناسبة في كل صف قبل الترجيح. ويجب توحيد الوحدات؛ لا يمكن طرح مبلغ مالي مباشرة من عدد دقائق.

ميّز المتوسط عن احتمال توفير وقت صافٍ موجب

التوفير الصافي المتوقع هنا 1.75 دقيقة، أما نتائج المحاولة فهي القيم الثلاث فقط 28 و3 و−27 دقيقة. احتمال أن يكون صافي الوقت الموفر موجباً هو 3/4، أي 75%، لأن الحالتين الأوليين توفران وقتاً. هذا ليس احتمال إتمام المهمة بنجاح. المتوسط يزن كل النتائج الصافية، ومنها السالبة؛ أما الاحتمال فيصف حدثاً محدداً ولا يقاس بالدقائق.

قد يساوي التوقع الرياضي إحدى النتائج الممكنة في توزيع آخر. فقط في هذا الجدول لا تظهر 1.75 بين النتائج الثلاث. كذلك يختلف المتوسط المحسوب من محاولات مكتملة عن توقع النموذج؛ فهو يعتمد على ما حدث فعلاً، لا على الاحتمالات المفترضة وحدها.

غيّر التحضير مع تثبيت بقية الافتراضات

لنسمّ وقت التحضير في كل محاولة c دقيقة، مع إبقاء مدد العمل والاحتمالات الأصلية كما هي. يصبح التوفير الصافي المتوقع 55/4 − c، أو 13.75 − c دقيقة. هكذا يتغير افتراض واحد فقط.

عتبة 13.75 دقيقة نتيجة لهذه الافتراضات، لا تقدير لوقت تحضير حقيقي ولا ضمان لتوفير صفري في محاولة بعينها. إذا تغيرت مدد العمل أو احتمالاتها أيضاً، وجب حساب العتبة من جديد.

غيّر الاحتمالات مع الحفاظ على مجموع يساوي واحداً

نعود بالتحضير إلى 12 دقيقة، ونثبت احتمال الحالة المتوسطة عند 1/2. نضع للحالة الطويلة الاحتمال q وللقصيرة 1/2 − q. عندما 0 ≤ q ≤ 1/2 تكون الأوزان غير سالبة ويبقى مجموعها 1.

يصبح التوفير الصافي المتوقع 28(1/2 − q) + 3(1/2) − 27 q = 15.5 − 55 q دقيقة، ويساوي صفراً عند q = 31/110. زيادة q تنقل المقدار نفسه من احتمال الحالة القصيرة إلى الطويلة، بدلاً من زيادة وزن واحد وترك المجموع يتغير.

هذه توزيعات مفترضة للمقارنة، وليست احتمالات مقاسة أو نطاقاً ثبتت واقعيته. يوضح تحليل الحساسية كيف يتغير الجواب بتغير المدخلات؛ لكنه لا يثبت صحتها. التطبيق الحقيقي يحتاج إلى أدلة على الحالات والمدد والاحتمالات.

المتوسط الموجب لا يضمن توفيراً بعد عدد محدد من المحاولات

تستغرق الحالة الطويلة مع التحضير 75 + 12 = 87 دقيقة، أي أكثر من الأصل بمقدار 27 دقيقة. ويبقى احتمالها 1/4 رغم أن التوفير المتوقع موجب. المتوسط وحده لا يصف جميع النتائج الممكنة.

ولا يضمن عدد محدد من المحاولات توفيراً إجمالياً. حتى إذا أضفنا افتراض استقلال المحاولات، يبقى احتمال أن تكون كل المحاولات في سلسلة محدودة من الحالة الطويلة أكبر من الصفر. هذا بيان لحدود التوقع، لا مبرر لتكرار النشاط تعويضاً عن نتيجة غير مواتية.

أسئلة شائعة

هل يمكن أن يساوي التوقع الرياضي إحدى النتائج الممكنة؟

نعم، في توزيع آخر قد يحدث ذلك. التوقع متوسط مرجّح، ولا يلزم أن يختلف عن كل نتيجة ممكنة. في هذا المثال تحديداً، القيم الصافية هي 28 و3 و−27 دقيقة، ولذلك ليست 1.75 نتيجة ممكنة فيه.

هل احتمال 75% هو نفسه توقع توفير 1.75 دقيقة؟

لا. يشير 75% إلى احتمال أن يكون صافي الوقت الموفر موجباً. أما متوسط 1.75 دقيقة فيزن كل القيم الصافية، ومنها السالبة. الاحتمال بلا وحدة زمنية، بينما التوفير المتوقع يقاس بالدقائق.

ما حدود الحساب إذا كانت الاحتمالات مفترضة؟

الجواب مشروط بهذه الافتراضات. عند المقارنة، حافظ على توزيع صالح وبيّن المدخل الذي تغير. الحساب لا يحوّل الاحتمالات المفترضة إلى قياسات ولا يضمن نتيجة المحاولة التالية.

المصادر وحدود استخدامها

اختيرت أوقات المثال واحتمالاته لأغراض الشرح. تدعم المصادر التعريفات والطريقة الرياضية، ولا تثبت توفيراً فعلياً للوقت في مهمة حقيقية.

1. OpenStax, Statistics §4.2: التوقع بوصفه متوسطاً مرجّحاً بالاحتمالات.
2. Penn State STAT414, Lesson 7: النتائج المتقطعة وشروط التوزيع الاحتمالي الصالح.
3. Penn State STAT414, Lesson 8: التوقع والتحويلات والفرق بين المتوسط والقيمة المتحققة.
4. Northeastern University, Random Variables §2.1: التوقعات المنتهية والخطية وشروط الاستقلال.
5. HM Treasury, The Green Book (2026): الحساسية والقيم التي تتغير عندها نتيجة التقييم في القطاع العام البريطاني؛ ليس قاعدة مالية أو قانونية عالمية.

تمت مراجعة المصادر في 17 أكتوبر 2026؛ هذا تاريخ الاطلاع لا تاريخ النشر. تعرض صفحة Green Book تاريخ تحديث هو 5 فبراير 2026.