Nilai harapan bukan hasil yang pasti: contoh tiga kemungkinan waktu

Tentukan hasil dan satuannya terlebih dahulu

Nilai harapan, atau ekspektasi, adalah rata-rata yang menggunakan peluang sebagai bobot. Untuk menghitungnya, kalikan setiap hasil dengan peluangnya, lalu jumlahkan. Sebelum memakai rumus, tentukan apa yang ingin Anda ukur. Waktu pengerjaan, waktu yang dihemat, dan penghematan setelah persiapan adalah tiga besaran yang berbeda.

Bayangkan pekerjaan yang biasanya selesai dalam 60 menit. Cara lain memerlukan persiapan 12 menit setiap kali digunakan, lalu pengerjaan selama 20, 45, atau 75 menit. Peluang ketiganya kita tetapkan sebesar 1/4, 1/2, dan 1/4. Semua angka ini dibuat untuk contoh, bukan hasil pengukuran. Setelah persiapan dihitung, waktu yang dihemat adalah 28, 3, atau −27 menit. Nilai negatif berarti pekerjaan justru memakan waktu lebih lama.

Dengan bobot tersebut, nilai harapan penghematan bersihnya adalah 1,75 menit. Itu bukan janji bahwa percobaan berikutnya akan menghemat 1,75 menit. Bahkan, angka tersebut tidak termasuk salah satu dari tiga hasil yang mungkin dalam contoh ini.

Susun kemungkinan yang tidak tumpang tindih

Setiap baris harus mewakili kemungkinan yang tidak terjadi bersamaan dan seluruh baris harus mencakup semua kemungkinan dalam model. Peluang tidak boleh negatif dan jumlahnya harus 1. Di sini hanya satu dari tiga waktu pengerjaan yang terjadi, dengan jumlah peluang 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1. Ketiga kejadian itu bukan kejadian independen: ketika salah satunya terjadi, dua lainnya tidak terjadi pada percobaan yang sama.

Jika pekerjaan nyata juga dapat memakan waktu lain, tabel ini belum lengkap. Anda perlu menambahkan kemungkinan yang terlewat dan meninjau peluangnya. Menyesuaikan bobot yang tersisa agar berjumlah 1 tidak dengan sendirinya melengkapi kemungkinan hasil yang terlewat.

Kurangi persiapan satu kali, bukan dua kali

Jika xᵢ adalah hasil dan pᵢ adalah peluangnya, nilai harapan ditulis Σ pᵢxᵢ. Untuk penghematan bersih pada tabel: 28 × 1/4 + 3 × 1/2 + (−27) × 1/4 = 7 + 1,5 − 6,75 = 1,75 menit. Baris sedang mendapat bobot lebih besar karena peluangnya dua kali peluang masing-masing baris lain.

Tanpa persiapan, nilai harapan waktu yang dihemat adalah 60 − 46,25 = 13,75 menit. Kurangi 12 menit sekali untuk memperoleh 1,75 menit. Namun, angka 28, 3, dan −27 pada tabel sudah memasukkan persiapan. Jika Anda memakai ketiganya, jangan mengurangi 12 menit lagi setelah menghitung nilai harapan.

Rata-rata biasa dari tiga hasil bersih adalah 4/3 menit. Angka itu bukan nilai harapan pada tabel, karena menganggap semua hasil mempunyai bobot yang sama. Gunakan peluang yang sesuai untuk setiap hasil.

Pengurangan nilai harapan tidak mensyaratkan waktu pengerjaan dan persiapan saling independen. Dalam contoh ini, persiapan selalu 12 menit. Jika persiapan berbeda menurut kemungkinan hasilnya, masukkan waktu yang berlaku pada setiap baris sebelum menghitung hasil bersih berbobot. Jangan mencampur satuan, misalnya langsung mengurangi menit dengan sejumlah uang.

Bedakan rata-rata, hasil yang mungkin, dan peluang menghemat

Hasil bersih yang mungkin adalah 28, 3, dan −27 menit; nilai harapannya 1,75 menit. Peluang menghemat waktu adalah 3/4 atau 75%, yaitu jumlah peluang dua hasil yang positif. Jadi, 1,75 menit menjawab pertanyaan tentang rata-rata berbobot, sedangkan 75% menjawab pertanyaan tentang peluang hasil positif. Angka pertama memiliki satuan menit, angka kedua tidak.

Rata-rata dari pekerjaan yang sudah Anda lakukan juga perlu dibedakan. Angka itu dihitung dari hasil yang benar-benar terjadi, sedangkan nilai harapan di sini berasal dari peluang yang diasumsikan. Contoh ini tidak menjamin rata-rata pengamatan akan persis 1,75 menit setelah sejumlah percobaan tertentu.

Ubah persiapan tanpa mengubah asumsi lain

Misalkan persiapan setiap percobaan menjadi c menit, sementara waktu pengerjaan dan peluang awal tetap. Nilai harapan penghematan bersih menjadi 13,75 − c menit. Dengan cara ini, Anda dapat melihat pengaruh satu asumsi tanpa sekaligus mengubah distribusi waktu pengerjaan.

Batas 13,75 menit adalah hasil aljabar berdasarkan asumsi tersebut. Angka ini bukan perkiraan waktu persiapan nyata atau jaminan bahwa satu pekerjaan akan impas waktunya. Jika waktu pengerjaan atau peluangnya ikut berubah, batas ini juga perlu dihitung ulang.

Ubah peluang sambil menjaga jumlahnya tetap 1

Kembalikan persiapan ke 12 menit dan pertahankan peluang sedang sebesar 1/2. Sebut peluang hasil lama sebagai q; peluang hasil cepat menjadi 1/2 − q. Ketika q naik, bobot berpindah dari hasil cepat ke hasil lama dalam jumlah yang sama. Selama 0 ≤ q ≤ 1/2, semua peluang tidak negatif dan jumlahnya tetap 1.

Nilai harapan penghematan bersih sekarang adalah 28(1/2 − q) + 3(1/2) − 27q = 15,5 − 55q menit. Nilainya nol saat q = 31/110. Ini batas dalam model, bukan perkiraan peluang nyata bahwa pekerjaan akan berlangsung lama.

Perbandingan seperti ini disebut analisis sensitivitas. Peluang pada tabel hanya asumsi pembanding, bukan hasil pengukuran atau rentang yang telah dinilai masuk akal. Analisis menunjukkan seberapa bergantungnya jawaban pada masukan, tetapi tidak membuktikan masukan tersebut akurat. Penerapan nyata tetap memerlukan bukti untuk pilihan hasil, waktu, dan peluangnya.

Nilai harapan positif tidak memastikan hasil positif

Pada contoh awal, hasil lama memerlukan 75 menit pengerjaan ditambah 12 menit persiapan, atau total 87 menit. Itu 27 menit lebih lama daripada acuan dan peluangnya tetap 1/4. Satu angka rata-rata tidak menceritakan seluruh rentang hasil.

Nilai harapan positif juga tidak menjamin total penghematan setelah jumlah percobaan tertentu. Bahkan jika setiap percobaan diasumsikan independen, kemungkinan semua percobaan dalam jumlah terbatas memerlukan waktu pengerjaan yang lama tetap lebih besar dari nol. Ini bukan alasan untuk mengulang kegiatan demi mengimbangi hasil buruk sebelumnya.

Pertanyaan umum

Mengapa nilai harapan bisa berbeda dari semua hasil yang mungkin?

Karena nilai harapan adalah rata-rata berbobot, bukan pilihan satu hasil. Pada contoh ini, hasil bersihnya tetap 28, 3, atau −27 menit, sedangkan nilai harapannya 1,75 menit. Lihat daftar hasil bersama nilai rata-ratanya agar perbedaan yang tidak terlihat dari rata-rata saja tetap jelas.

Apakah peluang 75% sama dengan nilai harapan 1,75 menit?

Tidak. Peluang 75% menjumlahkan peluang dua hasil positif. Nilai harapan 1,75 menit membobot semua hasil, termasuk yang negatif. Keduanya menjawab pertanyaan berbeda dan mempunyai satuan yang berbeda.

Kapan waktu persiapan dikurangkan?

Anda bisa menguranginya pada setiap hasil sebelum pembobotan atau sekali dari nilai harapan penghematan sebelum persiapan. Keduanya setara dalam contoh ini. Jangan mengurangi persiapan lagi jika angka bersih pada setiap baris sudah memasukkannya.

Bagaimana jika peluangnya hanya asumsi?

Nyatakan bahwa hasil bergantung pada asumsi itu. Saat membandingkan asumsi lain, pastikan peluang tetap valid dan seluruh kemungkinan tercakup. Perubahan jawaban tidak mengubah peluang asumsi menjadi peluang terukur atau menjamin hasil nyata.

Sumber dan batas penjelasan

Waktu dan peluang dalam contoh dibuat untuk penjelasan ini. Sumber berikut mendukung definisi dan metode matematika, bukan membuktikan bahwa contoh tersebut menunjukkan kinerja pekerjaan nyata.

1. OpenStax, Statistics bagian 4.2: nilai harapan sebagai rata-rata berbobot peluang.
2. Penn State STAT414, Lesson 7: hasil diskret dan syarat fungsi peluang.
3. Penn State STAT414, Lesson 8: nilai harapan, transformasi, serta perbedaan rata-rata dan hasil yang terjadi.
4. Catatan kuliah Northeastern University, Random Variables bagian 2.1: nilai harapan untuk hasil berhingga, linearitas, dan syarat independensi.
5. HM Treasury, The Green Book (2026): metode sensitivitas dan nilai ambang dalam penilaian sektor publik di Inggris. Rujukan ini terbatas pada metode, bukan aturan keuangan atau hukum yang berlaku di seluruh dunia.

Sumber diperiksa pada 17 Oktober 2026; tanggal pemeriksaan berbeda dari tanggal terbit sumber. Halaman Green Book menampilkan tanggal pembaruan 5 Februari 2026.