樣本變大，可以讓民調估計更精確，但改善幅度不會跟訪問人數等比例增加。在估計比例與信賴水準相同的簡單模型中，樣本數增加至四倍，抽樣誤差範圍才約減半；樣本數加倍，並不會讓它減半。
這個計算處理的是隨機抽樣變異，不能證明較大型民調的問題比較好、接觸到正確對象，或能預測選舉贏家。先檢查樣本如何選取，再把人數與方法一起閱讀。
計算前，先定義可比較的樣本
想像從同一個非常大的母體，分別抽出三組假設性的機率樣本。三組調查在相同條件下，詢問同一個二選一問題：「你會選A而不是B嗎？」每人只有一個是或否回答。此假設情境沒有漏答或未決定類別。
假設採簡單隨機抽樣、權重相同，且抽樣比率小到可以忽略有限母體校正。在這個大母體近似中，把回答視為獨立；不考慮叢集、加權或有效樣本數調整。這些前提描述的是示範模型，不是任何真實民調的設計。
三組樣本數分別設為400、1,600與6,400，回答「是」的人數分別為200、800與3,200。因此每組觀察到的「是」比例都是0.50，也就是50%。各列是獨立例子，不是同一調查的連續更新，也不是實際民意穩定的證據。
用正確單位計算近似誤差範圍
令n為回答人數，p̂為觀察到的「是」比例，以小數表示。常見的常態近似，也稱Wald方法，其抽樣誤差（即區間半寬）為E = z√[p̂(1 − p̂)/n]。使用取近似的臨界值z = 1.96，可得到由p̂ − E到p̂ + E的近似雙尾95%區間。NIST列出這個常用式，同時說明表現較佳的其他方法。NIST：比例的信賴區間。
這裡p̂(1 − p̂) = 0.50 × 0.50 = 0.25。若有400份回答，√(0.25/400) = 0.025，所以1.96 × 0.025 = 0.049。比例尺度的0.049，等於4.9個百分點。從50%減去或加上它，得到45.1%到54.9%。
| 回答人數n | 是／否人數 | 觀察到的「是」比例 | 估計標準誤，以比例表示 | 誤差半寬E，以比例表示 | 誤差範圍，以百分點表示 | 近似95%區間 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 400 | 200 / 200 | 200/400 = 0.50 | √(0.25/400) = 0.025 | 1.96 × 0.025 = 0.049 | ±4.9個百分點 | 45.1%–54.9% |
| 1,600 | 800 / 800 | 800/1,600 = 0.50 | √(0.25/1,600) = 0.0125 | 1.96 × 0.0125 = 0.0245 | ±2.45個百分點 | 47.55%–52.45% |
| 6,400 | 3,200 / 3,200 | 3,200/6,400 = 0.50 | √(0.25/6,400) = 0.00625 | 1.96 × 0.00625 = 0.01225 | ±1.225個百分點 | 48.775%–51.225% |
誤差半寬是中心到任一端點的距離，整個區間的寬度則是它的兩倍。第一列的誤差半寬為4.9個百分點，區間寬度為9.8個百分點。兩者都不是相對估計回答比例50%的百分比變化。
使用平方根關係，不要以線性方式推算
固定p̂與z時，公式中的誤差半寬與1/√n成正比。回答人數由400增至1,600，n變為四倍，E則除以二：4.9個百分點降為2.45個百分點。由1,600增至6,400，也重複相同關係。
若只是把n加倍，誤差半寬則除以√2。例如，在觀察比例同為0.50、臨界值相同時，回答數由400增至800，得到4.9/√2 ≈ 3.465個百分點，而不是2.45個百分點。在這個計算中，要讓誤差半寬減半，需要四倍的回答數。
這個比較刻意固定回答比例，但實際樣本中的觀察比例也可能改變。此時只看樣本數比例，就無法重現估計誤差半寬的完整變化。抽樣設計或信賴水準若有改變，也會破壞這個簡單比較的前提。
抽樣精確度與其他誤差來源要分開
Pew Research Center說明，除了整體受訪人數，抽樣設計、加權與子群體大小也很重要。整體樣本的誤差範圍，不能直接套用到較小的子群體。Pew：理解民調誤差範圍。
| 問題 | 只增加n的影響 | 應另外檢查什麼 |
|---|---|---|
| 隨機抽樣精確度 | 在固定前提下，降低所顯示的誤差範圍 | 信賴水準、回答比例與實際抽樣設計 |
| 涵蓋偏誤與無回應偏誤 | 不會自動消除系統性誤差 | 誰有機會被選中、誰實際作答 |
| 問題措辭 | 無法修正誤導性的問題 | 確切問法與回答選項 |
| 加權或叢集 | 原始n本身無法決定精確度 | 考慮該調查設計的不確定性計算 |
| 投票率或選舉勝負 | 不會把回答比例轉換為勝選機率 | 目標母體、未來事件與預測前提 |
抽樣誤差棒不包括無回應偏誤、對問題理解不同等誤差。增加回答人數，可能只是更精確地估計一個測量不佳的問題。Pew對誤差棒的說明，將這些限制與圖上呈現的精確度分開討論。Pew：理解誤差棒。
別忽略信賴水準與近似方法
名目上的95%水準，是指在前提成立時反覆使用該程序的性質。它不代表區間算出後，固定的母體比例有95%的後驗機率落在其中，更不是候選人有95%的勝選機率。常態近似也不能對每一種母體比例與樣本數，提供恰好95%的涵蓋率。
本文使用Wald區間，是為了說明平方根關係，不是把它當成通用民調計算機，也不是宣稱它是NIST優先推薦的一般方法。NIST另討論Wilson區間，並指出常見對稱公式的問題，包括可能產生不合理的上下界，以及在小樣本或計數稀少時準確度不足。比例接近零或一時尤其要小心。整齊的50%例子，並未消除這些限制。NIST：比例區間方法。
單一比例的誤差範圍，也不會自動等於兩項估計差異的不確定性。比較圖表時，誤差棒是否重疊，不是判定顯著與否的通用規則。應閱讀對應的分析，不要只憑重疊情況下結論。Pew：比較誤差棒。
閱讀真實民調時，應尋找題目、母體、實地調查日期、樣本選取方式、權重、子群體人數與所採用的不確定性方法。使用調查公布的方法，而不是把原始n代入本文教學公式。若想了解調查回答比例為何不同於勝率，請閱讀民調與選舉勝率；若要區分平均金額與事件機率，請參考期望值與機率。
常見問題
樣本數加倍，誤差範圍就會減半嗎？
不會。在觀察比例、信賴臨界值與簡單抽樣設計相同時，n加倍會讓近似誤差半寬除以√2；n增為四倍才會減半。因此本例的回答數由400增至1,600時，誤差半寬才由4.9降為2.45個百分點。
4.9個百分點的誤差，等於4.9%的相對變化嗎？
不是。第一個例子從50%加減4.9個百分點，得到45.1%–54.9%。這是百分比尺度上的距離，不是把50%乘以4.9%計算的相對變化。
可以把整體民調的誤差範圍套用到小型子群體嗎？
不能直接套用。子群體有自己的受訪基礎，也可能有不同的權重或設計效應。應尋找該子群體的不確定性計算；總受訪人數本身，並不能描述它的精確度。
誤差範圍較小，就代表民調沒有偏誤嗎？
不是。抽樣誤差範圍無法衡量所有誤差來源。母體有部分未被涵蓋、不同作答模式或誤導性問法，都可能影響估計，即使大樣本讓抽樣誤差很小也一樣。
任何網路投票都能用這個公式嗎？
不能。例子假設特定的機率抽樣模型，權重相同，且抽樣比率可以忽略。自願參加的人數多，不足以證明這些條件成立。應查看調查的招募與估計方法，不要只因回答人數多，就附上傳統的抽樣誤差範圍。
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你可以選擇前往一般市場頁面與BTC頁面說明。這些連結與虛構民調例子分開，不能確認服務可用性或個人參與資格。
資料來源與方法
三組樣本及其是／否人數，都是本文自行設定的假設例子，不是民調資料。教學計算使用NIST列出的常見對稱常態近似（Wald）區間，臨界值取近似1.96，觀察比例為0.50，並假設非常大母體中的二元回答獨立、權重相同，抽樣比率可忽略。本文並未把它當成NIST優先推薦的一般區間或涵蓋率精確的民調計算機。限制說明參考NIST對Wilson區間與小計數的提醒、Pew於2016年對設計與子群體的討論，以及2025年對誤差棒的說明。例子未計算有限母體、加權、叢集與有效樣本數。本文不評估任何當前民調、政治候選人、市價或選舉預測。
HypaForecast發布教育指南，並經營預測市場。本文說明簡化的抽樣計算，不推薦交易，也不證明勝選機率、當前供應項目或個人參與資格。
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